Kant dit que ce théorème : « Dans un triangle la somme de deux côtés est plus grande que le troisième » ne peut jamais se déduire des concepts de ligne et de triangle (B. 39), il a parfaitement raison, car il n’y est pas question, en réalité, de ligne ni de triangle ; ce théorème peut en effet se formuler ainsi : « Étant donnés trois points quelconques, la distance de deux d’entre eux est plus petite que la somme de leurs distances au troisième. »
Dans son opuscule sur les Progrès de la Métaphysique [Sur la question mise au concours par l'académie royale des sciences pour l’année 1791 : quels sont les progrès réels de la métaphysique en Allemagne depuis le temps de Leibniz et de Wolff ?] (1791), Kant donne comme exemple de jugement synthétique le suivant : « Toute figure à trois côtés a trois angles », « car, dit-il, bien que, quand je pense trois lignes droites comme enfermant un espace, il soit impossible de ne pas penser en même temps par là trois angles, je ne pense pourtant pas du tout dans ce concept du trilatère l’inclinaison des côtés l’un par rapport à l’autre, c’est-à-dire que je ne pense pas réellement le concept d’angle en lui ». Comme on l’a déjà remarqué, c’est là une erreur : le concept d’angle est contenu dans la notion de droites qui se coupent : or, comment pourraient-elles enfermer un espace, si elles ne se rencontraient pas ? De deux choses l’une : ou bien l’on conçoit le triangle à la manière classique, comme une figure finie, et alors on doit le définir la figure formée par 3 droites qui se coupent 2 à 2 ; dès lors, en vertu d’un théorème de Combinatoire, ces 3 droites ont 3 intersections, et par suite déterminent 3 angles. Ou bien l’on conçoit le triangle, au sens projectif, comme l’ensemble de 3 droites situées dans un même plan : et alors deux d’entre elles peuvent être parallèles, ou même toutes les trois. Mais en même [282]
