Page:Dandelin-1822.pdf/26

Maintenant, l'expression de l'aire comprise entre deux rayons vecteurs est substituant la valeur de p, en remarquant que

${\frac {\rho ^{2}}{{\overline {DD'}}^{2}}}=(\sec .\varphi \pm \tan .\varphi )^{2}$

devient

${\frac {\rho ^{2}}{{\overline {DD'}}^{2}}}=2\sec .^{2}\varphi -1\pm 2\sin .\varphi {\frac {1}{\cos .^{2}\varphi }}$;

on a

${\frac {A}{{\overline {DD'}}^{2}}}=\int \sec .^{2}\varphi d\varphi \pm \int {\frac {\sin .\varphi .}{\cos .^{2}\varphi .}}d\varphi -{\frac {1}{2}}\int d\varphi +C$:

d'où l'on tire, en intégrant et désignant ${\overline {DD'}}$ par $H$,

${\frac {A}{H^{2}}}=\tan .\varphi \pm \sec .\varphi -{\frac {\varphi }{2}}+C$,

ou bien

$A=\pm H\rho -H^{2}{\frac {\varphi }{2}}+CH^{2}$.

Afin de déterminer la valeur de la constante $C$, supposons l'angle $\varphi$ nul, l'aire correspondante sera également nulle, et nous aurons, comme alors $\rho =H$,

$o=\mp H^{2}+CH^{2}$;

d'où $CH^{2}=\pm H^{2}$, et l'expression de $A$ devient

$A=\mp H\rho \pm H^{2}-H^{2}.{\frac {\varphi }{2}}$.”

[Fig. 7.]

40. Cette intégrale nous conduit à une formule graphique remarquable et que l'on verra facilement en être la conséquence. Soit donc $DNN'$ un rayon vecteur, du point $D$ comme centre