94 ARCHITECTURE HYDRAULIQUE.
parabolique P (,) P (J) P (3) est égale aux £ du parallélogramme qui auroit P (ï) g pour base, et pour hauteur in.
Pour trouver la valeur de P (,) ^, menons P (,) A parallèle à AX, on aura P tJ) g = AP< a) — A# = AP (,) — Al— lg, et /# = ^P (Î >A = |(AP^>-AP<").Donc P^r=j(a)-j(0--(.r(3)- , .r(0) = j( 2 ) — t(j(0 Multipliant cette quantité par ih,
et prenant les deux tiers du produit, on a, toute réduction faite (27(2) — 7(1) — 7 (3)) f A pour la surface du segment parabolique P (,) P< J) P< 3 >; ajoutant cette surface à celle du tra- pèze, et réduisant, on a (^(1) -H 4 y (2) -+- j(3))}/i pour la surface de la portion de l'aire demandée, comprise depuis l'or- donnée 7(1) jusqu'à l'ordonnée ^(3) (*); la surface, depuis l'or- donnée 7(3) jusqu'à l'ordonnée y (5) , sera par conséquent (J"(3)-+-4^(4)-+-7(5))t^ î celle depuis l'ordonnée7(5) jusqu'à 1 ordonnée 7 (7), (7(5) -t- 47(6) -4-7 (7) )-j7i, etc. Ajoutant toute ces surfaces, on aura (7(1) -h 47(2) h- 27(3) h- 47(4) -+-27(5)
-f- 7 (A) ) x // , « étant un nombre impair qui désigne le
nombre des ordonnées 7(1), 7 (2), etc.
Cette formule fournit la règle suivante pour mesurer une aire plane terminée par une courbe quelconque. R«i e déduite 2 24.. Partagez celte aire en deux par une ligne qui la tra-
àc h formule T , f> , , ■ . * m r\- • ' t.
pr^édente , verse à-peu-près dans sa plus grande étendue. Divisez cette ligne En" U rù« u p r |" en un nombre pair de parties égales, et, à chaque point de divi- ^quelconque. s i on f men ez une double ordonnée qui se termine de part et d'autre au périmètre de la figure. Ces doubles ordonnées seront en nombre
impair, et il faudra les numéroter ( 1 , 2, 3, etc. k), à compter
de la première ; k est le nombre total impair des doubles ordon- nées.
Cela fait, additionnez i°. les doubles ordonnées i, k; 2 0 . les doubles ordonnées de n" pair, 2, 4» 6, etc. ; 3°. les doubles ordon- nées de n Q impair, 3,5, etc. , sans y comprendre 1 et k. Multipliez la première somme par l'unité , la seconde par 4, la troisième par 2, ensuite la somme des trois produits par le tiers de la dis- tance constante d'une ordonnée à l'autre, le produit final sera la surface de l'aire proposée. lufnSqwcM 22 ^* H arrivera souvent que la première ou la dernière or- pnicuiirr. de donnée, ou l'une et l'autre, seront égales à zéro ; il n'en faudra
cette formule. , /• • i • ï 1
pas moins les laire entrer avec cette valeur, soit dans les n°%
(*) On suppose , dans la figure, que la courbe tourne sa concavité vers l'axe ; l'expression scroit la même si c'étoit la convexité ; car dans ce cas 1' serait m'galif , et par conséquent la surface du segment serait (y ( i )-r-j(3) — iy{-i) )t h ; il faudrait ensuite soustraire cette sur- face de celle du trapèze ; ce qui donnerait , comme dans le texte, {/( i) ■+■ 4y (2) ■+■ y{ 3 ))tA.
