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Livre Premier.

angle, jusqu’à O, en sorte que NO soit égale à NL, la toute OM est z, la ligne cherchée ; et elle s’exprime en cette sorte :

$z={\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}$.

Que si j’ai y² = - ay + b², et que y soit la quantité qu’il faut trouver, je fais le même triangle rectangle NLM, et de sa base MN j’ôte NP égale à NL, et le reste PM est y, la racine cherchée. De façon que j’ai

$y=-{\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}$.

Et tout de même si j’avais

x⁴ = - ax² + b².

PM serait x² et j’aurais

$x={\sqrt {-{\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+b^{2}}}}}$;

et ainsi des autres.

Enfin si j’ai

z² = az – b²,

je fais NL égale à ${\frac {1}{2}}a$, et LM égale à b comme devant, puis, au lieu de joindre les points M, N, je tire MQR parallèle à LN, et du centre N par L ayant décrit un cercle qui la coupe aux points Q et R, la ligne cherchée z est MQ, ou bien MR, car en ce cas elle s’exprime en deux façons, à savoir

$z={\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}-b^{2}}}$,

et

$z={\frac {1}{2}}a-{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}-b^{2}}}$.

Et si le cercle, qui ayant son centre au point N, passe par le point L, ne coupe ni ne touche la ligne droite MQR, il n’y a aucune racine en l’Équation, de façon qu’on peut assurer que la construction du problème proposé est impossible.