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Si la courbe n’étoit point décrite, & que l’on n’eût que son équation, en sorte que l’on ne sût point où l’on doit fixer l’origine de x, on feroit x = 0 dans l’intégrale ; & effaçant tout ce qui est multiplié par x, on ajouteroit le restant, supposé qu’il y en eût, avec un signe contraire, & l’on auroit la quadrature cherchée. Mais cela demanderoit un détail trop profond pour appartenir à cet ouvrage : on en verra un exemple à la fin de cet article.

Quadrature de l’hyperbole. Mercator de Holstein, l’inventeur des suites infinies, est le premier qui en ait donné la quadrature analytique : il trouvoit sa suite par la division ; mais MM. Newton & Léibnitz ont perfectionné sa méthode.

Maniere de quarrer l’hyperbole entre ses asymptotes, suivant la méthode de Mercator. Puisque dans une hyperbole entre ses asymptotes, $\scriptstyle a^{2}=by+xy$ ; si $\scriptstyle a=b=1$, ce que l’on peut supposer, puisque la détermination de b est arbitraire, on aura

$\scriptstyle 1=y+xy$

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$\scriptstyle 1:(1+x)=y$

c’est-à-dire (en faisant actuellement la division)

$\scriptstyle y=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+x^{6}$ &c.

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$\scriptstyle ydx=dx=xdx+x^{2}dx-x^{3}dx+x^{4}dx-x^{5}dx+x^{6}dx$ &c.

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$\scriptstyle sydx=x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{4}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{6}}x^{6}+{\frac {1}{7}}x^{7}$ &c.

à l’infini.

Quadrature de la cycloïde. On a dans cette courbe (Pl. anal. fig. 27.) AQ : QP ∷ MS : mS.

Soit donc $\scriptstyle AQ=x$, $\scriptstyle AB=1$, on aura $\scriptstyle PQ={\sqrt {(x-xx)}}$ & $\scriptstyle mS=dx{\sqrt {(x-xx)}}:x$. Mais il est démontré que $\scriptstyle {\sqrt {(x-xx)}}=x^{1:2}-{\frac {1}{2}}c^{3:2}-{\frac {1}{8}}x^{5:2}-{\frac {1}{10}}x^{7:2}$ &c. à l’infini. Donc $\scriptstyle dx{\sqrt {(x-xx)}}:x=$ les numérateurs des exposans étant diminués d’une unité dans la division par x) x^{-1:2}dx - 1/2 x^{1:2}dx - 1/8 x^{3:2}dx - 1/16 x^{5:2}dx à l’infini. Donc la somme $\scriptstyle 2x^{1:2}-{\frac {1}{5}}x^{3:2}-{\frac {1}{20}}x^{5:2}-{\frac {1}{56}}x^{7:2}$ &c. à l’infini, est la demi-ordonnée de la cycloïde QM comparée à l’axe AP. D’où il suit que AMQ ou l’élément QMSq de l’espace cycloïdal $\scriptstyle 2x^{1:2}dx-{\frac {1}{5}}x^{3:2}dx-{\frac {1}{20}}x^{5:2}dx-{\frac {1}{56}}x^{7:2}dx$ &c. à l’infini. Donc la somme $\scriptstyle {\frac {4}{3}}x^{3:2}-{\frac {2}{15}}x^{5:2}-{\frac {1}{20}}x^{7:2}-{\frac {1}{256}}x^{9:2}$ &c. à l’infini, exprime le segment de la cycloïde AMQ.

Si l’on multiplie $\scriptstyle mS=dx{\sqrt {(x-xx)}}:x$ par $\scriptstyle GM=AQ=x$, on aura l’élément de l’aire $\scriptstyle AMG=dx{\sqrt {(x-xx)}}$ qui étant le même que l’élément du segment de cercle APQ, l’espace AMG sera égal au segment de cercle APQ, & par conséquent l’aire ADC égale au demi-cercle APB.

Puis donc que CB est égal à la moitié de la circonférence du cercle, si l’on suppose celle-ci = p & AB = a, le rectangle BCDA sera = ap ; & le demi-cercle APB, & par conséquent l’espace cycloïdal externe $\scriptstyle ADC={\frac {1}{4}}ap$. Donc l’aire de la moitié de la cycloïde $\scriptstyle ACB={\frac {3}{4}}ap$, & AMCBPA = $\scriptstyle {\frac {1}{2}}$ ap. D’où il suit que l’aire de la cycloïde est triple du cercle générateur.

Quadrature de la logarithmique. Soit la soutangente PT (Pl. anal. fig. 28.) = a, PM = x, Pp = dx, on aura

$\scriptstyle ydx:dy=a$

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$\scriptstyle ydx=ady$

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$\scriptstyle sydx=ay$

Donc l’espace indéterminé HPMI est égal au rectangle de PM par PT. Soit 1°. Qs = z : pour lors l’espace 1 SQH = az ; & par conséquent $\scriptstyle SMPQ=ay-az=a(y-z)$ ; c’est-à-dire que l’espace compris entre deux ordonnées est égal au rectangle de la soutangente, par la différence de ces ordonnées. 2°. Donc l’espace BAPM est à l’espace PMSQ

comme la différence des ordonnées AB & PM est à celle des ordonnées PM & SQ.

Quadrature de la courbe de Descartes, exprimée par l’équation b² : x² :: b-x : y.

Puisque $\scriptstyle b^{2}y=bx^{2}-x^{3}$

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On a $\scriptstyle y=(bx^{2}-x^{3}):b^{2}$

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$\scriptstyle ydx=(bx^{2}dx-x^{3}dx):b^{2}$

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& $\scriptstyle sydx=x^{3}:3b-x^{4}:4b^{2}$

Quadrature de toutes les courbes comprises sous l’équation générale $\scriptstyle ym{\sqrt {(x+a)}}$

Puisque $\scriptstyle y={(c+a)}^{1:m}$

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on a $\scriptstyle ydx=dx{(x+a)}^{1:m}$

Pour rendre l’élément intégrable, supposons

$\scriptstyle (x+a)^{1:m}=v$

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on aura $\scriptstyle x+a=v^{m}$

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$\scriptstyle dx=my^{m-1}dv$

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$\scriptstyle ydx=mv^{m}dv$

$\scriptstyle sydx={\frac {mv^{m-1}}{m+1}}={\frac {m}{m+1}}(x+a){\sqrt[{m}]{(x+a)}}$ soit $\scriptstyle x=0$ le restant $\scriptstyle {\frac {m}{m+1}}a{\sqrt[{m}]{a}}$. Donc l’aire de la courbe $\scriptstyle {\frac {m}{m+1}}(x+a){\sqrt[{m}]{(x+a)}}-{\frac {ma{\sqrt[{m}]{a}}}{m+1}}$.

Cette derniere opération est fondée sur deux principes. 1°. que l’aire de la courbe doit être nulle quand x = 0. 2°. Il faut que l’aire de la courbe soit telle que sa différence soit $\scriptstyle dx\cdot (x+a)^{1:m}$. Or en ajoutant le $\scriptstyle -{\frac {ma{\sqrt[{m}]{a}}}{m+1}}$, avec un signe contraire, on satisfait à ces deux conditions, comme il est facile de s’en assûrer.

Comme les méthodes pour la quadrature des courbes sont presque toutes fondées ou sur les suites, ou sur le calcul intégral, il s’ensuit que pour se mettre au fait de cette matiere, il faut se rendre familier l’usage des suites & les méthodes du calcul integral. Voyez Suite &. (O)

Quadrature de la lune, en Astronomie, est l’aspect ou la situation de la lune, lorsque sa distance au soleil est de 90 degrés. Voyez Lune.

La quadrature de la lune arrive lorsqu’elle est dans un point de son orbite également distant des points de conjonction & d’opposition ; ce qui arrive deux fois dans chacune de ses révolutions, savoir au premier & troisieme quartier. Voyez Orbite, Opposition, & Conjonction.

Quand la lune est en quadrature on ne voit que la moitié de son disque ; on dit alors qu’elle est dichotome, comme qui diroit coupée en deux. Voyez Phase & Dichotomie.

Lorsqu’elle avance des sysygies à la quadrature, sa gravitation vers la terre est d’abord diminuée par l’action du soleil, & son mouvement est retardé par la même raison, ensuite la gravitation de la lune est augmentée jusqu’à ce qu’elle arrive aux quadratures. Voyez Gravitation.

A mesure qu’elle s’éloigne de ses quadratures en avançant vers les sysygies, sa gravitation vers la terre est d’abord augmentée, puis diminuée. Voyez Sysygies.

C’est ce qui fait, selon M. Newton, que l’orbite de la lune est plus convexe toutes choses d’ailleurs égales à ses quadratures qu’à ses sysygies ; c’est aussi ce qui fait que la lune est moins distante de la terre aux sysygies, & l’est plus aux quadratures toutes choses égales. Voyez Orbite.

Lorsque la lune est aux quadratures, ou qu’elle n’en est pas fort éloignée, les apsides de son orbite sont rétrogrades ; mais elles sont progressives aux sysygies. Voyez Apsides.