en attachant la regle en H, au lieu de l’attacher en I, seroit l’hyperbole opposée à la premiere.
Le rapport qui est entre la distance des points H & I, & la différence du fil à la regle, est ce qui caractérise l’espece de l’hyperbole.
Il y a une autre maniere de décrire l’hyperbole, qui rend plus facile la démonstration de la plûpart de ses propriétés. Voici cette méthode.
LL & MM (fig. 17.) étant deux droites quelconques données de position qui se coupent en un point C, & cDdC un parallélogramme donné, si on trace une courbe eDh qui ait cette propriété qu’en menant de chacun de ses points e les paralleles ed, & ec à LL & MM, le parallélograme cedC soit égal au parallélogramme DcCd, cette courbe sera une hyperbole.
La courbe égale & semblable à cette courbe que l’on décriroit de la même maniere dans l’angle opposé des lignes MM, LL, seroit l’hyperbole opposée.
Les deux hyperboles que l’on décriroit avec le même parallélogramme entre les deux autres angles qui sont les complémens à deux droits des deux premiers, seroient les deux courbes appellées les hyperboles conjuguées aux premieres. Voyez Conjugué.
Le point où les deux droites MM, LL, se rencontrent, est le centre de toutes ces hyperboles.
Toute ligne passant par le centre, & terminée aux deux hyperboles opposées, est un diametre de ces hyperboles. Toutes les droites menées parallelement à la tangente au sommet de ce diametre & terminées par l’hyperbole, sont des ordonnées à ce diametre ; & les parties correspondantes du prolongement de ce diametre, lesquelles sont terminées par le sommet de ce diametre & par les ordonnées, sont les abscisses.
Un diametre quelconque de deux hyperboles opposées, a pour diametre conjugué celui des hyperboles conjuguées, qui a été mené parallelement aux ordonnées du premier.
Le parametre d’un diametre quelconque, est la troisieme proportionnelle à ce diametre & à son conjugué.
Les lignes LL, MM sont appellées les asymptotes, tant des hyperboles opposées que des conjuguées. Voyez Asymptote.
Propriétés de l’hyperbole. 1°. Les ordonnées à un diametre quelconque sont toûjours coupées en deux parties égales par ce diametre.
2°. Les ordonnées à l’axe sont les seules qui soient perpendiculaires à leur diametre ; les autres sont d’autant plus obliques, que le diametre est plus écarté de l’axe ; & en comparant deux hyperboles de différentes especes, les diametres qui seront à même distance de l’axe, auront des ordonnées d’autant plus obliques, que la différence de l’angle LCM à son complément sera plus grande.
3°. Le quarré d’une ordonnée à un diametre quelconque est au quarré d’une autre ordonnée quelconque au même diametre, comme le produit de l’abscisse correspondante à cette premiere ordonnée par la somme de cette abscisse & du diametre, est au produit de l’abscisse correspondante à la seconde ordonnée, par la somme de cette abscisse & du diametre.
4°. Le parametre de l’axe transverse est égal à l’ordonnée qui passe par le foyer.
5°. Le quarré d’une demi-ordonnée à un diametre est plus grand que le rectangle de l’abscisse correspondante par le parametre de ce diametre. C’est de cet excès, appellé en Grec ὑπερβολὴ, qu’est venu le nom de l’hyperbole.
6°. Si d’un point quelconque B (fig. 16.) on tire deux lignes BH, BI aux foyers, leur différence sera égale au grand axe ; ce qui suit évidemment de la premiere description de l’hyperbole.
7°. Si on divise en deux parties égales l’angle HBI, compris les deux lignes qui vont d’un point quelconque aux foyers, la ligne de bissection sera tangente à l’hyperbole en B.
8°. Les lignes droites LL, MM (fig. 17.) dans lesquelles sont renfermées les deux hyperboles op-Rosées & leurs conjuguées, sont asymptotes de ces quatre hyperboles, c’est-à-dire qu’elles en approchent continuellement sans jamais les rencontrer, mais qu’elles peuvent en approcher de plus près que d’une distance donnée, si petite qu’on la suppose.
9°. L’ouverture de l’angle que font les asymptotes de deux hyperboles opposées, caractérise l’espece de cette hyperbole. Lorsque cet angle est droit, l’hyperbole s’appelle équilatere, à cause que son axe (latus transversum) & son parametre (latus rectum) sont égaux entre eux. Cette hyperbole est à l’égard des autres, ce que le cercle est à l’égard des ellipses. Si par exemple sur le même axe, en variant l’axe conjugué, on construit différentes hyperboles, les ordonnées de ces différentes hyperboles qui auront les mêmes abscisses, seront à l’ordonnée correspondante de l’hyperbole équitatere, comme l’axe conjugué est à l’axe transverse.
10°. Si par le sommet d’un diametre quelconque on tire une tangente à l’hyperbole, l’intervalle retranché sur cette tangente par les asymptotes, est toûjours égal au diametre conjugué.
11°. Si par un point quelconque m de l’hyperbole (fig. 29.) on tire à volonté des lignes KmH, rmR qui rencontrent les deux asymptotes, on aura MR = mr, HE = mK : ce qui fournit une maniere bien simple de décrire une hyperbole, dont les asymptotes CQ, CT soient données, & qui passe par un point donné m : car menant par m une ligne quelconque KmH, & prenant HE = mK, le point E sera à l’hyperbole. On trouvera de même un autre point M de l’hyperbole, en menant une autre ligne rmR, & prenant MR = mr ; & ainsi des autres.
12°. Si sur l’une des asymptotes OM (fig. 17.) l’on prend les parties CI, CII, CIII, CIV, CV, &c. qui soient en progression géométrique, & qu’on mene par les points CI, CII, CIII, CIV, les paralleles Ii, II2, III3, IV4, V5, &c. à l’autre asymptote, les espaces I2, II3, III4, IV5, V6, &c. seront tous égaux. D’où il suit que si l’on prend les parties CI, CII, CIII, &c. suivant l’ordre des nombres naturels, les espaces I2, II3, III4, &c. représenteront les logarithmes de ces nombres.
De toutes les propriétés des sections coniques on peut conclure : 1°. que ces courbes font toutes ensemble un système de figures régulieres, tellement liées les unes aux autres, que chacune peut dans le passage à l’infini, changer d’espece & devenir successivement de toutes les autres. Le cercle, par exemple, en changeant infiniment peu le plan coupant, devient une ellipse ; & l’ellipse en reculant son centre à l’infini, devient une parabole, dont la position étant ensuite un peu changée, elle devient la premiere hyperbole : toutes ces hyperboles vont ensuite en s’élevant, jusqu’à se confondre avec la ligne droite, qui est le côté du cone.
On voit, 2°. que dans le cercle le parametre est double de la distance du sommet au foyer ou centre ; dans l’ellipse, le parametre de tout diametre est à l’égard de cette distance dans une raison qui est entre la double & la quadruple ; dans la parabole cette raison est précisément le quadruple, & dans l’hyperbole la raison passe le quadruple.
3°. Que tous les diametres des cercles & des ellipses se coupent au centre & en-dedans de la courbe ; que ceux de la parabole sont tous paralleles entr’eux & à l’axe ; que ceux de l’hyperbole se coupent
