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15, 30, 7, 14, 21, 42, 35, 70, 105, 210, que l’on multipliera chacun par 11 pour avoir 11, 22, 33, 66, 55, 110, 165, 330, 77, 154, 231, 462, 385, 770, 1155, 2310, lesquels joints aux 16 précédens donneront les 32 diviseurs 1, 2, 3, 6, 5, 10, 15, 30, 7, 14, 21, 42, 35, 70, 105, 210, 11, 22, 33, 66, 55, 110, 165, 330, 77, 154, 231, 462, 385, 770, 1155, 2310 du nombre 2310, & il n’en aura pas davantage. Voyez la science du calcul par Charles Reyneau, ou les leçons de Mathématiques par M. l’abbé de Molieres. (E)

La regle pour trouver les communs diviseurs se trouve démontrée dans plusieurs ouvrages par différentes méthodes. En voici la raison en peu de mots. Qu’est-ce que trouver le plus grand commun diviseur, par exemple de 387 & 54 ? c’est trouver la plus petite expression de $\scriptstyle {\frac {387}{54}}$. Il faut donc d’abord diviser 387 par 54, je trouve que le quotient est un nombre entier $\scriptstyle +{\frac {9}{54}}$ ; il faut donc trouver le plus grand commun diviseur de 9 & de 54, ou réduire cette fraction à sa plus simple expression ; donc ce plus grand diviseur est 9. On fera le même raisonnement sur les exemples plus composés ; & l’on verra toûjours que trouver le plus grand commun diviseur, se réduit à trouver la plus petite expression d’une fraction ; c’est-à-dire une fraction dont le numérateur & le dénominateur soient les plus petits qu’il est possible.

On peut aussi employer souvent une méthode abrégée pour trouver le plus grand commun diviseur.

Je suppose qu’on ait, par exemple, à trouver le plus grand commun diviseur de 176 & de 77, je remarque en prenant tous les diviseurs de 176, que $\scriptstyle 176=2\times 88=2\times 2\times 2\times 2\times 11$, & que $\scriptstyle 77=7\times 11$ ; donc 11 est le plus grand commun diviseur, & ainsi des autres. En général soient a, b, c, tous les diviseurs simples ou premiers d’un nombre a³ b² c, & c, b, f, tous ceux d’un nombre b⁴ c² f³, on aura pour diviseur commun b² c.

Deux nombres premiers (voyez Nombre premier) ou deux nombres, dont l’un est premier, ne sauroient avoir de commun diviseur plus grand que l’unité : cela est évident par la définition des nombres premiers, & par la regle des communs diviseurs. Donc une fraction composée de deux nombres premiers $\scriptstyle {\frac {a}{b}}$, est réduite à sa plus simple expression. Donc le produit ac de deux nombres premiers différens de b ne peut se diviser exactement par b ; car si on avoit $\scriptstyle {\frac {ac}{b}}=m$, on auroit $\scriptstyle {\frac {a}{b}}={\frac {m}{c}}$ ; ce qui ne se peut. En effet il faudroit pour cela que b & c eussent un commun diviseur, ce qui est contre l’hypothèse. On prouvera de même que $\scriptstyle {\frac {ac}{b}}$ ne sauroit se réduire ; car on auroit $\scriptstyle {\frac {ac}{b}}={\frac {m}{g}}$, g ayant un diviseur commun avec b ; on prouvera de même encore que $\scriptstyle {\frac {ac}{bd}}$, d étant un nombre premier, ne sauroit se réduire ; car on auroit $\scriptstyle {\frac {ac}{bd}}={\frac {mh}{gh}}$ : donc bd produit de deux nombres premiers, seroit égal au produit de deux autres nombres g, h, & par conséquent on auroit $\scriptstyle {\frac {b}{g}}={\frac {h}{d}}$, quoique b d’une part & d de l’autre, soient des nombres premiers : ce qui ne se peut ; car on vient de voir que toute fraction, dont un des termes est un nombre premier, est réduite à la plus simple expression. On prouvera de même que $\scriptstyle {\frac {abc}{hd}}$, c étant nombre premier, ne peut se réduire ; & en général qu’un produit de nombres premiers quelconques, divisé par un produit d’autres nombres premiers quelconques, ne peut se réduire à une expression plus simple. Voyez les conséquences de cette proposition aux mots Fraction & Incommensurable.

Il y a des fractions telles que $\scriptstyle {\frac {5}{15}}$, $\scriptstyle {\frac {3}{12}}$, &c. dont le numérateur est un nombre premier, & se divise exactement par le dénominateur ; mais comme elles se réduisent à une fraction dont le numérateur est l’unité, il est aisé de voir qu’il ne s’agit point ici de ces fractions, & que la démonstration précédente n’en subsiste pas moins. Voyez Fraction.

A l’égard de la méthode par laquelle on trouve le

plus grand diviseur commun de deux quantités algébriques, elle est la même pour le fond que celle par laquelle on trouve le plus grand diviseur commun de deux nombres. On la trouvera expliquée dans l’analyse démontrée & dans la science du calcul du P. Reyneau. Elle est utile sur-tout pour réduire différentes équations à une seule inconnue. Voyez Evanouissement des inconnues. (O)

* Diviseur, (Hist. anc.) gens qui se chargeoient dans les élections de corrompre les tribus & d’acheter les suffrages. Le mépris public étoit la seule punition qu’ils eussent à supporter.

DIVISIBILITÉ, (Géom. & Phys.) est en général le pouvoir passif, ou la propriété qu’a une quantité de pouvoir être séparée en différentes parties, soit actuelles, soit mentales. V. Quantité & Matiere.

Les Péripatéticiens & les Cartésiens soûtiennent en général que la divisibilité est une affection ou propriété de toute matiere ou de tout corps : les Cartésiens adoptent ce sentiment, parce qu’ils prétendent que l’essence de la matiere consiste dans l’étendue, d’autant que toute partie ou corpuscule d’un corps étant étendue à des parties qui renferment d’autres parties, & est par conséquent divisible.

Les Epicuriens disent que la divisibilité est propre à toute continuité physique, parce qu’où il n’y a point de parties adjacentes à d’autres parties, il ne peut y avoir de continuité, & que par-tout où il y a des parties adjacentes, il est nécessaire qu’il y ait de la divisibilité ; mais ils n’accordent point cette propriété à tous ses corps, parce qu’ils soûtiennent que les corpuscules primitifs ou les atomes sont absolument indivisibles. Voyez Atome. Leur plus grand argument est que de la divisibilité de tout corps ou de toute partie assignable d’un corps, même après toutes divisions faites, il résulte que les plus petits corpuscules sont divisibles à l’infini, ce qui est, selon eux, une absurdité, parce qu’un corps ne peut être divisé que dans les parties actuelles dont il est composé. Mais supposer, disent-ils, des parties à l’infini dans le corps le plus petit, c’est supposer une étendue infinie : car des parties ne pouvant être réunies à l’infini à d’autres parties extérieures, comme le sont sans doute les parties qui composent les corps, il faudroit nécessairement admettre une étendue infinie. Voyez Infini.

Ils ajoûtent qu’il y a une différence extrème entre la divisibilité des quantités physiques & la divisibilité des quantités mathématiques : ils accordent que toute quantité, ou dimension mathématique, peut être augmentée ou diminuée à l’infini ; mais la quantité physique, selon eux, ne peut être ni augmentée, ni diminuée à l’infini.

Un artiste qui divise un corps continu parvient à certaines petites parties, au-delà desquelles il ne peut plus aller ; c’est ce qu’on appelle minima partis. De même, la nature qui peut commencer où l’art finit, trouvera des bornes que l’on appelle minima naturæ ; & Dieu, dont le pouvoir est infini, commençant où la nature finit, peut subdiviser ce minima naturæ ; mais à force de subdiviser, il arrivera jusqu’à ces parties qui n’ayant aucunes parties continues, ne peuvent plus être divisées, & seront atomes. Ainsi parlent les Epicuriens. Voyez Atomisme.

Cette question est sujette à bien des difficultés : nous allons exposer en gros les raisonnemens pour & contre. D’un côté, il est certain que tout corpuscule étendu a des parties, & est par conséquent divisible ; car s’il n’a point deux côtés, il n’est point étendu, & s’il n’y a point d’étendue, l’assemblage de plusieurs corpuscules ne composeroit point un corps. D’un autre côté, la divisibilité infinie suppose des parties à l’infini dans les corps les plus petits : d’où il suit qu’il n’y a point de corps, quelque petit