pas compris huit fois dans le premier membre de la division 3203. Supposons qu’il y soit contenu sept fois ; si nous en faisons l’essai en multipliant 469 par 7, nous trouverons le produit 3283, qui est encore plus grand que 3203 : mais on peut écrire 6 au quotient. Multiplions donc le diviseur 469 par ce chiffre 6 ; mettons-en le produit 2814 sous 3203, & après avoir soustrait 2814 de 3203, il reste 389 dixaines, à côté desquelles on descendra les cinq unités du dividende, afin d’avoir 3895 unités à diviser par 469. Comme il y a au dividende 3895 un chiffre de plus qu’au diviseur 469, on demandera combien de fois le premier chiffre 4 du diviseur est contenu dans les deux premiers chiffres 38 du dividende (ce que l’on doit observer généralement toutes les fois qu’un membre de la division a un chiffre de plus que le diviseur) ; on dira donc en 38 combien de fois 4 ? il y est bien neuf fois ; supposant donc 9, on multipliera le diviseur 469 par 9, & le produit 4221 étant plus grand que 3895, c’est une preuve que le diviseur 469 n’est pas compris neuf fois dans le dividende 3895 : on écrira donc 8 au quotient, & l’on multipliera par ce nombre le diviseur 469 pour avoir le produit 3752, que l’on retranchera du dividende 3895 ; il restera 143 unités qui ne peuvent plus se diviser en cette qualité par 469 : c’est pourquoi si on ne veut pas pousser le calcul plus loin, on écrira à la suite du quotient 68 le reste 143, sous lequel on posera 469, en séparant ces deux nombres par une ligne en forme de fraction. Mais en supposant que 143 signifient 143 livres, on réduira ces livres en sols en les multipliant par 20, ce qui produira 2860 sols, que l’on divisera toûjours par 469 pour avoir 6 sols, & il restera 46 sols, dont on fera des deniers en multipliant 46 par 12 ; ce qui produira 552 deniers, que l’on divisera encore par 469 pour avoir 1 denier, & pour reste 83 deniers, que l’on écrira à la suite de 1 denier sous cette forme , ce qui signifie qu’il reste encore 83 deniers à partager en 469 parties ; mais on ne pousse pas l’opération plus loin, parce que le commerce n’admet point en France de monnoies plus petites que le denier.
Remarquez 1°. qu’après avoir déterminé le premier membre de la division qui apporte un chiffre au quotient, tous les autres chiffres du dividende qui suivent ce premier membre, doivent en fournir chacun un au quotient : ainsi l’on peut savoir des le commencement de l’opération combien le quotient doit avoir de chiffres.
2°. L’opération sur le premier membre étant achevée, si après avoir descendu un chiffre on s’apperçoit que le diviseur entier n’est pas contenu dans ce nouveau membre du dividende, on mettra 0 au quotient, & l’on descendra un nouveau chiffre ; & s’il arrivoit que le diviseur ne fût pas encore contenu dans ce membre ainsi augmenté, on mettroit encore un o au quotient ; & ainsi de suite jusqu’à ce que le diviseur fût enfin compris dans le membre sur lequel on opere.
3°. On ne doit jamais mettre au quotient un nombre plus grand que 9.
4°. Si après avoir fait la soustraction on trouvoit un reste égal au diviseur, ou plus grand, ce seroit un signe que le nombre que l’on a mis au quotient n’est pas assez grand ; il faudroit l’augmenter : afin donc qu’un chiffre mis au quotient soit légitime, il faut que le produit de ce chiffre par le diviseur ne soit pas plus grand que le membre divisé, ni qu’après la soustraction il y ait un reste égal au diviseur ou plus grand. Si le premier cas avoit lieu, on diminueroit le chiffre du quotient ; & dans le second cas on l’augmenteroit.
5°. Quand on commence cette opération, il faut d’abord prendre autant de chiffres dans le dividende
qu’il y en a dans le diviseur : mais si l’on remarque que les chiffres du diviseur ne sont pas compris dans ceux du dividende pris en pareil nombre, alors on augmentera d’un chiffre le premier membre de la division : & en ce cas on demandera combien de fois le premier chiffre du diviseur est contenu dans les deux premiers chiffres du membre à diviser : on écrira ce nombre au quotient, après avoir essayé s’il n’est pas trop grand ; car il ne sauroit jamais être trop petit.
La théorie de tous ces préceptes est exactement démontrée dans les institutions de Géométrie, imprimées à Paris chez Debure l’ainé en 1746 ; rien n’est plus propre à faire apprendre une science avec promptitude & solidité, que la connoissance des raisons sur lesquelles la pratique est fondée.
Quant à la division des fractions vulgaires, des fractions décimales, & à la division de proportion, voyez Fraction, Décimal, Proportion
La division algébrique se fait précisément de la même maniere que la division numérique. Soit que l’on agisse sur des monomes ou sur des polynomes, la regle des signes + & - est la même que celle de la multiplication, voyez Multiplication. Les coefficiens se divisent comme dans l’Arithmétique, voyez Coefficient. Pour les quantités algébriques, on fait disparoître au dividende les lettres qui lui sont communes avec le diviseur, & l’on écrit le reste au quotient. Si le diviseur n’a rien de commun avec le dividende, on écrit le dividende au-dessus d’une petite ligne horisontale, sous laquelle on pose le diviseur, & la division algébrique est faite.
Soit, par exemple, 12 bcd à diviser par 3 d : disposez ces quantités comme dans la division arithmétique.
| Dividende, | ||
| + 12 b c d | + 3 d . . . diviseur | |
| + 4 bc . . . quotient |
Et dites : + divisé par + = +, écrivez + au quotient sous la ligne : ensuite 12 divisé par 3 = 4, posez 4 au quotient ; enfin bcd divisé par d = b c, que vous écrirez au quotient à la suite du coefficient 4. En supprimant, comme vous voyez, du dividende bcd la lettre d qui est commune au diviseur 3 d, on écrit au quotient le reste bc du dividende ; & pour faire voir que + 4 bc est le vrai quotient, on n’a qu’à multiplier + 3 d par + 4 bc, c’est-à-dire le diviseur par le quotient, & l’on retrouvera le dividende + 12 bcd ; ce qui prouve que la division est juste. Voyez Multiplication.
Divisions.
| + 15 a c t | - 5 a t | |
| - 3 c |
Disons donc : + divisé par-=- ; 15 divisé par 5 donne 3 ; act divisé par a t = c. Le quotient est donc -3 c ; car en multipliant le diviseur-5 at par le quotient-3 c, on a le dividende + 15 act, ce qui prouve la justesse de l’opération.
Propose-t-on de diviser par + ?
On dira :-divisé par + =- ; 18 divisé par 3 = 6 ; divisé par : ainsi le quotient est -6 a b2 ; ce que l’on prouve en multipliant le diviseur par le quotient , puisque cette multiplication redonne le dividende '.
Enfin si l’on veut diviser par .
