un grand nombre d’autres particulieres, à qui il donne différens noms.
Le premier cas qui est celui de , est celui qui donne le plus grand nombre de subdivisions ; les trois subdivisions principales sont que les deux autres racines du plus haut rang soient ou réelles & inégales, ou imaginaires, ou réelles & égales ; & chacune de ces subdivisions en produit encore d’autres. Voyez l’ouvrage de M. l’abbé de Gua, page 440. & suiv.
Lorsqu’une hyperbole est toute entiere au-dedans de ses asymptotes comme l’hyperbole conique, M. Newton l’appelle hyperbole inscrite : lorsqu’elle coupe chacune de ses asymptotes, pour venir se placer extérieurement par rapport à chacune des parties coupées, il la nomme hyperbole circonscrite ; enfin lorsqu’une de ses branches est inscrite à son asymptote, & l’autre circonscrite à la sienne, il l’appelle hyperbole ambigene : celle dont les branches tendent du même côté, il la nomme hyperbole convergente : celle dont les branches ont des directions contraires, hyperbole divergente : celle dont les branches tournent leur convexité de différens côtés, hyperbole à branches contraires : celle qui a un sommet concave vers l’asymptote, & des branches divergentes, hyperbole conchoïdale : celle qui coupe son asymptote avec des points d’inflexion, & qui s’étend vers deux côtés opposés, hyperbole anguinée ou serpentante : celle qui coupe la branche conjuguée, cruciforme : celle qui retourne sur elle-même & se coupe, hyperbole à nœud : celle dont les deux parties concourent en un angle de contact & s’y terminent, hyperbole à pointe ou à rebroussement : celle dont la conjuguée est une ovale infiniment petite, c’est-à-dire un point, hyperbole pointée ou à point conjugué : celle qui par l’impossibilité de deux racines n’a ni ovale, ni point conjugué, ni point de rebroussement, hyperbole pure ; l’auteur se sert dans le même sens des dénominations de parabole convergente, divergente, cruciforme, &c. Lorsque le nombre des branches hyperboliques surpasse celui des branches de l’hyperbole conique, il appelle l’hyperbole redundante.
M. Newton compte jusqu’à soixante-douze especes inférieures de courbe du second genre : de ces courbes il y en a neuf qui sont des hyperboles redundantes sans diametre, dont les trois asymptotes forment un triangle. De ces hyperboles, la premiere en renferme trois, une inscrite, une circonscrite, & une ambigene, avec une ovale ; la seconde est à nœud, la troisieme à pointe, la quatrieme pointée, la cinquieme & la sixieme pures, la septieme & la huitieme cruciformes, la neuvieme anguinée.
Il y a de plus douze hyperboles redundantes qui n’ont qu’un diametre : la premiere a une ovale, la seconde est à nœud, la troisieme à pointe, la quatrieme pointée ; la cinquieme, sixieme, septieme & huitieme, pures ; la neuvieme & la dixieme cruciformes, la onzieme & la douzieme conchoïdales. Il y a deux hyperboles redundantes qui ont trois diametres.
Il y a encore neuf hyperboles redundantes, dont les trois asymptotes convergent en un point commun : la premiere est formée de la cinquieme & de la sixieme hyperbole redundantes, dont les asymptotes renferment un triangle ; la seconde de la septieme & de la huitieme, la troisieme & la quatrieme de la neuvieme ; la cinquieme est formée de la huitieme & de la septieme des hyperboles redundantes, qui n’ont qu’un diametre ; la sixieme de la sixieme & de la septieme, la septieme de la huitieme & de la neuvieme, la huitieme de la dixieme & de la onzieme, la neuvieme de la douzieme & de la treizieme. Tous ces changemens se font en réduisant en un point le triangle compris par les asymptotes.
Il y a encore six hyperboles défectives sans diametre : la premiere a une ovale, la seconde est à nœud, la troisieme à pointe, la quatrieme pointée, la cinquieme pure, &c.
Il y a sept hyperboles défectives qui ont des diametres : la premiere & la seconde sont conchoïdales avec une ovale, la troisieme est à nœud, la quatrieme à pointe : c’est la cissoïde des anciens ; la cinquieme & la sixieme sont pointées, la septieme pure.
Il y a sept hyperboles paraboliques qui ont des diametres : la premiere ovale, la seconde à nœud, la troisieme à pointe, la quatrieme pointée, la cinquieme pure, la sixieme cruciforme, la septieme anguinée.
Il y a quatre hyperboles paraboliques, quatre hyperbolismes de l’hyperbole, trois hyperbolismes de l’ellipse, deux hyperbolismes de la parabole.
Outre le trident, il y a encore cinq paraboles divergentes : la premiere a une ovale, la seconde est à nœud, la troisieme pointée ; la quatrieme est à pointe (cette derniere est la parabole de Neil, appellée communément seconde parabole cubique) ; la cinquieme est pure. Enfin il y a une derniere courbe appellée communément premiere parabole cubique. Remarquons ici que M. Stirling a déjà fait voir que M. Newton dans son énumération avoit oublié quatre especes particulieres, ce qui fait monter le nombre des courbes du second genre jusqu’à soixante-seize, & que M. l’abbé de Gua y en a encore ajoûté deux autres, observant de plus que la division des lignes du troisieme ordre en especes pourroit être beaucoup plus nombreuse, si on assignoit à ces différentes especes des caracteres distinctifs, autres que ceux que M. Newton leur donne.
On peut voir dans l’ouvrage de M. Newton, & dans l’endroit cité du livre de M. l’abbé de Gua, ainsi que dans M. Stirling, les subdivisions détaillées des courbes du troisieme ordre, qu’il seroit trop long & inutile de donner dans un Dictionnaire. Mais nous ne pouvons nous dispenser de remarquer que les principes sur lesquels ces divisions sont fondées, sont assez arbitraires ; & qu’en suivant un autre plan, on pourroit former d’autres divisions des lignes du troisieme ordre. On pourroit, par exemple, comme MM. Euler & Cramer, distinguer d’abord quatre cas généraux : celui où le plus haut rang n’a qu’une racine réelle, celui où elles sont toutes trois réelles & inégales, celui où deux sont égales, celui où trois sont égales, & subdiviser ensuite ces cas. Cette division générale paroît d’autant plus juste & plus naturelle, qu’elle seroit parfaitement analogue à celle des lignes du second ordre ou sections coniques, dans laquelle on trouve l’ellipse pour le cas où le plus haut rang a ses deux racines imaginaires ; l’hyperbole, pour le cas où le plus haut rang a ses racines réelles & inégales, & la parabole pour le cas où elles sont égales. Au reste il faut encore remarquer que toutes les subdivisions de ces quatre cas, & même la division générale, auront toûjours de l’arbitraire. Cela se voit même dans la division des lignes du second ordre. Car on pourroit à la rigueur, par exemple, regarder la parabole comme une espece d’ellipse dont l’axe est infini (voy. Parabole), & ne faire que deux divisions pour les sections coniques ; & on pourroit même n’en faire qu’une, en regardant l’hyperbole comme une ellipse, telle que dans l’équation , le quarré de l’abscisse xx ait le signe +. Il semble qu’en Géometrie comme en Physique, la division en genres & en especes ait toûjours nécessairement quelque chose d’arbitraire ; c’est que dans l’une & dans l’autre il n’y a réellement que des individus, & que les genres n’existent que par abstraction de l’esprit.
M. Cramer trouve quatorze genres de courbes dans
