née, passent par un même point M dans la ligne des centres, tellement situé sur cette ligne, que RM soit à MI, comme le nombre de la roue à celui du pignon. Il y a plus, c’est que cette démonstration s’étend à toutes sortes d’engrenages où l’on voudroit que la roue menât le pignon uniformément, de quelques figures que soient les dents de la roue & les ailes du pignon.
Il suit de la démonstration précédente (voy. les fig. 103 & 104), que si la perpendiculaire à l’aile dans un point quelconque G où la dent la touche, au lieu de passer par le point M, passe par un point F entre R & M ; la force de la roue, pour faire tourner le pignon dans ce point G, sera plus grande que lorsque la dent & l’aile étoient dans la ligne des centres & se touchoient en M ; & qu’au contraire si cette perpendiculaire passe par un point T entre M & I, cette force sera plus petite ; ce qui est évident, puisque dans le premier cas le pignon tournera plus lentement, sa vîtesse par rapport à celle de la roue étant, comme nous l’avons fait voir, comme RF à FI ; & dans le second il tournera plus vîte, sa vîtesse étant à celle de la roue comme RT à TI.
Nous aurions pû démontrer tout ceci d’une maniere plus abregée, & dans une forme plus géométrique ; mais nous avons cru devoir tout sacrifier à la clarté & à la nécessité d’être entendu par les gens du métier.
On vient de voir les conditions requises dans un engrenage pour que la roue mene uniformément le pignon ; nous allons démontrer à présent que lorsque la dent rencontre l’aile dans ou après la ligne des centres, il faut pour que cet effet ait lieu, que la face de l’aile soit une ligne droite tendante au centre, & que celle de la dent soit la portion d’une épicycloïde engendrée par un point d’un cercle qui a pour diametre le rayon du pignon, & qui roule extérieurement sur la circonférence de la roue.
Si un cercle COQ (fig. 97. no 2.) roule extérieurement sur la circonférence d’un autre cercle ALE, ou intérieurement comme en M, un point quelconque C de la circonférence du premier décrira par ce mouvement une ligne qu’on appelle épicycloïde. Voy. Epicycloïde. Si le cercle COQ a pour diametre le rayon d’un cercle ALE, alors en roulant en-dedans sur sa circonférence, comme en M, la ligne qu’il décrira sera une ligne droite diametre de ce cercle ALE. Voyez Epicycloïde. Cela posé, les cercles PIG, RVE (fig. 95. no 2.) représentant l’un le pignon l’autre la roue, dont les diametres HI, HR, sont entre eux comme leurs nombres ; qu’on suppose deux petits cercles COQ, ayant pour diametre le rayon du pignon, & posés si parfaitement l’un sur l’autre, qu’on n’en puisse voir qu’un ; que leurs centres soient parfaitement dans le même point O dans la ligne des centres, & le point C en H ou D dans la même ligne : qu’on imagine ensuite (fig. 94 no 4.) que la roue & le pignon se meuvent en tournant sur leurs centres de M en X, & que ces deux petits cercles se meuvent aussi, l’un en-dedans sur la circonférence du pignon, l’autre en-dehors sur la circonférence de la roue, mais tellement qu’à chaque arc que le pignon & la roue parcourent, ils en parcourent d’entierement égaux en sens contraire ; c’est-à-dire que la roue & le pignon ayant parcouru l’un l’arc MH, l’autre l’arc égal MD, les deux cercles COQ ayent aussi parcouru en sens contraire, l’un en-dehors sur la circonférence de la roue, l’autre en-dedans sur la circonférence du pignon, l’arc MC égal à l’arc MH ou MD. Il suivra de ce mouvement des deux cercles COQ, que leur centre O ne sortira point de la ligne des centres RI, puisqu’à chaque instant que le mouvement de la roue & du pignon tendra à les en écarter d’un arc quel-
sens contraire d’un arc de la même longueur. Maintenant supposons pour un moment que la roue se mouvant de M en H, entraîne par le simple frottement de sa circonférence le pignon, l’effet sera encore le même ; & le pignon sera mû uniformément, puisqu’on pourra le regarder avec la roue comme deux rouleaux dont l’un fait tourner l’autre, par la simple application de leurs parties l’une sur l’autre, Mais ces petits cercles par leurs mouvemens, l’un dans le pignon, l’autre sur la circonférence de la roue, seront dans le même cas que les cercles COQ, M (fig. 96. no 2.) & COQ qui rouloient au-dedans de la circonférence du cercle ALE & au-dehors. Ainsi le point C du cercle COQ roulant au-dedans du pignon, y décrira une ligne droite DS, diametre de ce pignon, & dont une partie, comme CD, répondra à un arc CM parcouru en même tems par ce cercle. De même le point C du cercle COQ roulant sur la circonférence de la roue, décrira un épicycloïde dont une partie, comme CH, répondra aussi à l’arc MH égal à CM. Mais comme ces deux cercles ont même diametre, & parcourent toûjours dans le même sens des arcs égaux, à cause du mouvement uniforme du pignon & de la roue, le point décrivant C du cercle qui se meut au-dedans du pignon se trouvera au même lieu que le point décrivant C du cercle qui se meut sur la circonférence de la roue. Donc le point C de la partie DI de la ligne droite DS, & le point, C de la partie de l’épicycloïde CH, seront décrits en même tems. Or dans une situation quelconque du point décrivant C, la ligne MC menée du point M dans la ligne des centres, sera perpendiculaire à la ligne CD ou ID, puisque ces deux lignes formeront toûjours un angle qui aura son sommet à la circonférence du cercle COQ, & qui s’appuiera sur son diametre. De même cette ligne MC sera aussi perpendiculaire à la portion infiniment petite de l’épicycloïde CK décrite dans le même tems, puisque MC sera alors comme le rayon décrivant d’une portion de cercle infiniment petite CK. Donc si la face de l’aile & celle de la dent sont engendrées par un point d’un cercle dont le diametre soit égal au raiyon du pignon, & qui se meuve sur sa circonférence en-dedans & sur la circonférence de la roue en-dehors, elles auront les mêmes propriétés que les lignes CS & CH ; & par conséquent dans toutes les situations où elles se trouveront les perpendiculaires aux points où elles se toucheront, se confondront, & passeront toutes par le même point M. Mais ce point M par la construction divisera la ligne des centres dans la raison des nombres du pignon & de la roue. Donc si la face de l’aile est une ligne droite tendante au centre, & celle de la dent un épicycloïde décrite par un cercle qui a pour diametre le raiyon du pignon, & qui se meut sur la circonférence de la roue en-dehors, la roue menera le pignon uniformément, puisqu’alors les perpendiculaires à l’aile du pignon & à la face de la dent dans tous les points où elles se toucheront se confondront, & passeront toûjours par un même point M dans la ligne des centres, qui divise cette ligne selon les conditions requises.
Il est facile de voir que cette démonstration s’étend à toutes sortes d’épicycloïdes ; c’est-à-dire qu’une roue menera son pignon toûjours uniformément, si les faces de ses ailes sont des épicycloïdes quelconques engendrées par un point d’un cercle qui roule au-dedans du pignon, & celles de la dent d’autres épicycloïdes engendrées par le même cercle roulant sur la circonférence de la roue. L’action de la roue pour faire tourner le pignon étant toûjours uniforme, il est clair en renversant que l’action du pignon pour faire tourner la roue le sera aussi. Car si dans
