sur les plus connues, comme le folium de Descartes, la conchoïde, la cissoïde, &c. Voyez ces mots.
Les courbes méchaniques suivront les géométriques. On traitera d’abord des courbes exponentielles, qui sont comme une espece moyenne entre les courbes géométriques & les méchaniques. Voyez Exponentiel. Ensuite, après avoir donné les principes généraux de la construction des courbes méchaniques, au moyen de leur équation différentielle & de la quadrature des courbes (voyez Construction), on entrera dans le détail des principales & & des plus connues, de la spirale, de la quadratrice, de la cycloïde, de la trochoïde, &c. Voyez ces mots.
Telles sont à-peu-près les matieres que doit contenir un traité de Géométrie transcendante ; nous ne faisons que les indiquer, & que marquer, pour ainsi dire, les masses principales : Un géometre intelligent saura trouver de lui-même, & à l’aide des différens articles de ce Dictionnaire, les parties qui doivent composer chacune de ces masses.
Géométrie sublime. Après le plan que nous avons tracé pour la Géométrie transcendante, on voit que le calcul différentiel & ses usages y sont presqu’épuisés ; il ne reste plus à la Géométrie sublime que le calcul intégral, & son application à la quadrature & à la rectification des courbes. Ce calcul fera donc la matiere principale & presque unique de la Géométrie sublime. Sur la maniere dont on doit le traiter, voyez Intégral.
Nous terminerons cet article par quelques réflexions générales. On a vû au mot Application des observations sur l’usage de l’analyse & de la synthèse en Géométrie. On nous a fait sur cet article quelques questions qui donneront lieu aux remarques suivantes.
1°. Le calcul algébrique ne doit point être appliqué aux propositions de la géométrie élémentaire, par la raison qu’il ne faut employer ce calcul que pour faciliter les démonstrations, & qu’il ne paroît pas y avoir dans la géométrie élémentaire aucune démonstration qui puisse réellement être facilitée par ce calcul. Nous exceptons néanmoins de cette regle la solution des problèmes du second degré par le moyen de la ligne droite & du cercle (supposé qu’on veuille regarder ces problèmes comme appartenant à la géométrie élémentaire, & non comme le passage de la géométrie élémentaire à la transcendante) ; car le calcul algébrique simplifie extrèmement la solution des questions de ce genre, & il abrege même les démonstrations. Pour s’en convaincre, il suffira de jetter les yeux sur quelques-uns des problèmes du second degré qui sont résolus dans l’application de l’Algebre à la Géométrie de M. Guisnée. Après avoir mis un problème en équation, l’auteur tire de cette équation la construction nécessaire pour satisfaire à l’équation trouvée ; & ensuite il démontre synthétiquement & à la maniere des anciens, que la construction qu’il a employée résout en effet le problème. Or la plûpart de ces démonstrations synthétiques sont assez compliquées & fort inutiles, si ce n’est pour exercer l’esprit ; car il suffit de faire voir que la construction satisfait à la solution de l’équation finale, pour prouver qu’elle donne la solution du problème.
2°. Nous croyons qu’il est ridicule de démontrer par la synthèse ce qui peut être traité plus simplement & plus facilement par l’analyse, comme les propriétés des courbes, leurs tangentes, leurs points d’inflexion, leurs asymptotes, leurs branches, leur rectification, & leur quadrature. Les propriétés de la spirale que les plus grands mathématiciens ont eu tant de peine à suivre dans Archimede, peuvent aujourd’hui se démontrer d’un trait de plume. N’y a-t-il donc pas en Géométrie assez de choses
3°. Il y a cette différence en Mathématique entre l’Algebre & l’Analyse, que l’Algebre est la science du calcul des grandeurs en général, & que l’Analyse est le moyen d’employer l’Algebre à la solution des problèmes. Je parle ici de l’analyse mathématique ; l’emploi qu’elle fait de l’Algebre pour trouver les inconnues au moyen des connues, est ce qui la distingue de l’analyse logique, qui n’est autre chose en général que l’art de découvrir ce qu’on ne connoît pas par le moyen de ce qu’on connoît. Les anciens géometres avoient sans doute dans leurs recherches une espece d’analyse ; mais ce n’étoit proprement que l’analyse logique. Tout algebriste s’en sert pour commencer le calcul ; mais ensuite le secours de l’Algebre facilite extrèmement l’usage & l’application de cette analyse à la solution des problèmes. Ainsi, quand nous avons dit au mot Analyse, que l’analyse mathématique enseigne à résoudre les problèmes, en les réduisant à des équations, nous croyons avoir donné une définition très-juste. Ces derniers mots sont le caractere essentiel qui distingue l’analyse mathématique de toute autre ; & nous n’avons fait d’ailleurs que nous conformer en cela au langage universellement reçu aujourd’hui par tous les géometres algébristes.
4°. On peut appeller l’Algebre géométrie symbolique, à cause des symboles dont l’Algebre se sert dans la solution des problèmes ; cependant le nom de géométrie métaphysique qu’on a donnée à l’Algebre (voyez Algebre), paroît lui être du-moins aussi convenable ; parce que le propre de la Métaphysique est de généraliser les idées, & que non seulement l’Algebre exprime les objets de la Géométrie par des caracteres généraux, mais qu’elle peut faciliter l’application de la Géométrie à d’autres objets. En effet on peut, par exemple, en Méchanique, représenter le rapport des parties du tems par le rapport des parties d’une ligne, & le mouvement d’un corps par l’équation d’une courbe, dont les abscisses représentent les tems, & les ordonnées les vîtesses correspondantes. La Géométrie, sur-tout lorsqu’elle est ai-
