Idem, de la quinte, . . . . . . . . . . . n : 1.
Idem, de la quarte, . . . . . . . . . . . 2 : n.
Rapport de l’intervalle qui vient de quinte, nr. 2s.
Idem, de l’intervalle qui vient de quarte, 2s. nr.
r. Nombre de quintes ou de quartes de l’intervalle.
s. Nombre d’octaves combinées de l’intervalle.
t. Nombre de semi-tons de l’intervalle.
x. Gradation diatonique de l’intervalle, c’est-à-dire, nombre des secondes diatoniques majeures & mineures de l’intervalle. x. 1. Gradation des termes d’où l’intervalle tire son nom.
Le premier cas de chaque formule a lieu, lorsque l’intervalle vient de quintes.
Le second cas de chaque formule a lieu, lorsque l’intervalle vient de quartes.
Les noms de chacune des douze touches du clavier que cette fig. représente sont: ut de re ma mi fa fi sol be la sa si.
Tout intervalle est formé par la progression de quintes ou par celle de quartes, ramenées à l’octave. Par exemple, l’intervalle si ut est formé par cette progression de 5 quartes si mi la re sol ut, ou par cette progression de 7 quintes si fi de be ma sa fa ut. De même l’intervalle fa la est formé par cette progression de 4 quintes fa ut sol re la, ou par cette progression de 8 quartes fa sa ma be de fi si mi la
De ce que le rapport de tout intervalle qui vient de quintes est nr: 2s, & que celui qui vient de quartes est 2s. nt. il s'ensuit qu'on a pour le rapport de l'intervalle si ut, quand il vient de quartes, cette proportion 2s. nr. :: 23 : n5. Et si l'intervalle si ut vient de quintes, on a cette proportion nr : 2s :: n7 : 24. Voici comment on prouve cette analogie. Le nombre de quartes d'où vient l'intervalle si ut, étant de 5, le rapport de cet intervalle est de 25 : n5, puisque le rapport de la quarte est 2 : n. Mais ce rapport 25 : n5. désigneroit un intervalle de 25 semi-tons, puisque chaque quarte a 5 semi-tons, & que cet intervalle a 5 quartes. Ainsi, l'octave n'ayant que 12 semi-tons, l'intervalle si ut passeroit 2 octaves. Donc pour que l'intervalle si ut soit moindre que l'octave, il faudroit diminuer ce rapport 25 : n5, de deux octaves, c'est-à-dire, du rapport de 22 : 1. ce qui se fait par un rapport composé du rapport direct 25 : n5, & du rapport 1 : 22 inverse de celui 22 : 1, en cette sorte; 27 x 1 : n5 x 22 :: 25 : 22 n5 :: 23 n5. Or l'intervalle si ut venant de quartes, son rapport, comme il a été dit ci-devant, est 25 nr. Donc 2s nt :: 23 : n5. Donc s = 3, & r = 5. Ainsi, réduisant les lettres du second cas de chaque formule aux nombres correspondans, on a pour C, 7s - 4r - x = 21-20-1 = 0, & pour D, 7x - 4t - s = 7-4-3 = 0.
Lorsque le même intervalle si ut vient de quin-tes, il donne cette proportion nr : 2s :: n7 : 24. Ainsi, l'on a r = 7, s = 4, & par consequent, pour A de la premiere formule, 12s - 7r - 1 = 48-49 + 1 = 0. & pour B, 12x - 5t r = 12-5-7 = 0. De même l'intervalle fa la venant de quintes, donne cette proportion nr : 2s :: n4 : 22, & par conséquent on a r = 4 & s = 2. Le même intervalle venant de quartes, donne cette proportion 2s : nt :: 25, n8, &c. Il seroit trop long d'expliquer ici comment on peut trouver les rapports & tout ce qui regarde les in-tervalles par le moyen des formules. Ce sera mettre un lecteur attentif sur la route que de lui donner les valeurs de n & de ses puissances.
Valeurs des puissances de n.
n4 = 5, c'est un fait d'expérience. Donc n8 = 25 n12 = 125, &c.
Valeurs précises des trois premieres puissances de n.
Valeurs approchées des trois premieres puissances de n.
Donc le rapport, qu'on a cru jusqu'ici être celui de la quinte juste, n'est qu'un rapport d'approximation, & donne une quinte trop forte, & de-là le véritable principe du tempérament qu'on ne peut appeller ainsi que par abus, puisque la quinte doit être foible pour être juste.
Remarques sur les intervalles.
Un intervalle d'un nombre donné de semi-tons, a toujours deux rapports différens; l'un comme venant de quintes, & l'autre comme venant de quartes. La somme des deux valeurs de r dans ces deux rapports égale 12, & la somme des deux valeurs de s égale 7. Celui des deux rapports de quintes ou de quartes, dans lequel r est le plus petit, est l'in-tervalle diatonique, l'autre est l'intervalle chromatique. Ainsi l'intervalle si ut, qui a ces deux rapports 23 : n5 & n7, 24, est un intervalle diatonique, comme venant de quartes, & son rapport est 23 : n5; mais ce même intervalle si ut est chromatique comme venant de quintes, & son rapport est n7 : 24, parce que dans le premier cas r = 5 est moindre que r = 7 du second cas. Au contraire l'intervalle fa la, qui a ces deux rapports n4 : 22 & 25 : n8, est diatonique dans le premier cas où il vient de quintes, & chromatique dans le second où il vient de quartes.
L'intervalle si ut, diatonique, est une seconde min. l'intervalle si ut, chromatique, ou plutôt l'intervalle si si # (car alors ut est pris pour si #) est un unisson superflu. L'intervalle fa la, diatonique est une tierce majeure; l'intervalle fa la chromatique, ou plutôt l'intervalle mi # la, (car alors fa est pris comme mi #.) est une quarte diminuée, ainsi des autres. Il est évident 1°. qu'à chaque intervalle diatonique correspond un intervalle chromatique d'un même nombre de semi-tons & vice versâ. Ces deux intervalles de même nombre de semi-tons, l'un diatonique, l'autre chromatique, sont appellés intervalles correspondans. 2°. Que quand la valeur de r est égale à un de ces nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, l'intervalle est diatonique, soit que cet intervalle vienne de quintes ou de quartes; mais que si r est égal à un de ces nombres, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, l'intervalle est chromatique. 3°. Que lorsque r = 6, l'intervalle est en même tems diatonique & chromatique, soit qu'il vienne de quintes ou de quartes: tels sont les deux intervalles fa si, appellés triton, & si fa appellés fausse quinte, le triton fa si est dans le rapport n6 : 23. & vient de six quintes; la fausse quinte si fa est dans le rapport 24 : n6. & vient de six quartes, où l'on voit que dans les deux cas on a r = 6. Ainsi le triton, comme intervalle diatonique, est une quarte majeure, & comme intervalle chromatique une quarte superflue: la fausse quinte si fa, comme intervalle diatonique, est une quinte mineure, comme intervalle chromatique, une quinte diminuée. Il n'y a que ces deux intervalles & leurs repliques qui soient dans le cas d'être en même tems diatoniques & chromatiques.
Les intervalles diatoniques de même nom, & conséquemment de même gradation, se divisent en majeurs & en mineurs. Les intervalles chromatiques se divisent en diminués & superflus. A
