LE CINQUIÈME LIVRE DES ÉLÉMENTS DʼEUCLIDE.
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χαὶ εἰ ἴσον, ἴσονί" καὶ εἰ ἔλαττον. ἔλαττονϑ, Πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς τὸ Τ πρὸς τὸ Δ οὕτως τὸ Ἑ πρὸς τὸ Ζ, καὶ εἴληπται τῶν μενδ τ, Ἑ ἰσά- κις πολλαπλάσια τὰ Θ, Κ, τῶν δὲ Δ. 2 ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια τὰ Μ, Ν' εἰ ἄρα ὑπερέχει τὸ Θ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ Ν᾽ καὶ εἰ ἴσον, ἴσον" καὶ εἰ ἔλασσον, ἔλασσον. Αλλα εἰ ὑπερέχει τὸ Θ τοῦ Μ, ὑπερέχει καὶ τὸ Ἡ τοῦ Δ' καὶ εἰ ἴσον, ἴδον" καὶ εἰ ἔλατ- τον, ἔλαττον" ὥστε καὶ εἰ ὑπερέχει τὸ Ἡ τοῦ Λ» ὑπερέχει καὶ τὸ Κ τοῦ ΝΝ' καὶ εἰ σον, ἴσον" καὶ εἰ ἔλαττον, ἔλαττον. Καὶ ἔστι τὰ μὲν Η, Κα τῶν Α.Ε ἰσάκις πολλαπλάσια. τὰ δὲ Δ. Ν τῶν Β., 2 ἄλλα ἃ ἔτυχεν ἰσάκις πολλαπλάσια" ἔστιν ἄρα ὡς τὸ Α πρὸς τὸ Β οὕτως τὸ Ἑ πρὲς τὸ Z. Οἱ ἄρα τῷ αὐτῷ, καὶ τὰ ἑξῆς. |
si minor , minor. Rursus , quoniam est ut P ad Aita E ad Z , et sumpt ipsarum quidem T , E zque multiplices 6 , K, ipsarum vero A , Zalig utcunque zque multiplices M , N ; si igitur su- perat O ipsam M , superat et K'ipsam N ; et si qualis , equalis ; et si minor, minor. Sed si su- perat Ó ipsam M , superat et H ipsam A ; ct si qualis , equalis; et si minor, minor; quare et si superat H ipsam A , superat ct K ipsam N ; et si equalis , wqualis ; et si minor, minor. Et sunt H,K quidem ipsarum A , E que mulliplices , ipse vero A, N ipsarum B, Z aliz utcunque multiplices ; est igitur ut A ad B. ita E ad Z. Ergo eidem , etc. |
et si H est plus petit que A, © est plus peut que M (déf. 6. 5). De plus, puisque T est à 4 comme E est à Z, et quʼon a pris des équimultiples quelconques ©, K de r et de E, et dʼautres équimultiples quelconques M, N de 4etdeZ ; si © surpasse M, K surpasse N ; 516 est égal à M, K est égal à N, et si © est plus petit que M, K est plus petit que N. Mais si Θ surpasse M, H surpasse A ; si © est égal à M, H est égal à A, et si © est plus petit que M, H est plus petit que A ; donc, si H surpasse A, K surpasse N ; si H est égal à A, K est égal à N, et si H est plus petit que A, K est plus petit que N. Mais H, K sont des équimultiples quelconques de 4 et de E, et A, N d’autres équimultiples quelconques de B et de Z ; donc 4 est à B comme E est à z (déf. 6. 5). Donc, etc.
