Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/302

270

THÉORIE DE LA CHALEUR.

sement. Il en serait de même si les températures initiales étaient représentées par la fonction $a\sin .{\frac {ix}{r}}+b\cos .{\frac {ix}{r}},$ $i$ étant un nombre entier, $a$ et $b$ des coëfficients quelconques.

240.

Venons maintenant au cas général dans lequel les températures initiales n’ont point les rapports que l’on vient de supposer, mais sont représentées par une fonction quelconque $\mathrm {F} x.$ Donnons à cette fonction la forme $\varphi \left({\frac {x}{r}}\right)$ en sorte qu’on ait $\mathrm {F} x=\varphi \left({\frac {x}{r}}\right),$ et concevons que la fonction $\varphi \left({\frac {x}{r}}\right)$ est décomposée en une série de sinus ou de cosinus d’arcs multiples affectés de coëfficients convenables. On posera l’équation

$\varphi \left({\frac {x}{r}}\right)={\begin{array}{rrl}a_{0}\sin .\left(0{\dfrac {x}{r}}\right)\!\!\!&+a_{1}\sin .\left(1{\dfrac {x}{r}}\right)\!\!\!&+a_{2}\sin .\left(2{\dfrac {x}{r}}\right)\!\!\!&+\mathrm {etc.} \\&&&\quad ({\boldsymbol {\varepsilon }})\\+b_{0}\cos .\left(0{\dfrac {x}{r}}\right)\!\!\!&+b_{1}\cos .\left(1{\dfrac {x}{r}}\right)\!\!\!&+b_{2}\cos .\left(2{\dfrac {x}{r}}\right)\!\!\!&+\mathrm {etc.} \\\end{array}}$

Les nombres $a_{0}\,a_{1}\,a_{2}\dots \;b_{0}\,b_{1}\,b_{2}\dots$ sont regardés comme connus et calculés d’avance. Il est visible que la valeur de $u$ sera alors représentée par l’équation :

$u=b_{0}+\left.{\begin{aligned}a_{1}\sin .{\frac {x}{r}}\\\\b_{1}\cos .{\frac {x}{r}}\\\end{aligned}}\right|e^{-{\frac {k\,t}{r^{2}}}}+\left.{\begin{aligned}a_{2}\sin .2{\frac {x}{r}}\\\\b_{2}\cos .2{\frac {x}{r}}\\\end{aligned}}\right|e^{-{\frac {k\,t}{r^{2}}}}+\mathrm {etc.}$

En effet, 1^o  cette valeur de $u$ satisfera à l’équation

${\frac {du}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}$