Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/135

103

CHAPITRE II.

nous bornerons ici à une remarque qui concerne l’état permanent de l’armille.

106.

Supposons que le plan de l’anneau étant horizontal, on place au-dessous de divers points m, n, p, q etc., des foyers de chaleur dont chacun exerce une action constante ; la chaleur se propagera dans le solide, et celle qui se dissipe par la surface étant incessamment remplacée par celle qui émane des foyers, la température de chaque section du solide s’approchera de plus en plus d’une valeur stationnaire qui varie d’une section à l’autre. Pour exprimer, au moyen de l’équation $(b),$ la loi de ces dernières températures qui subsisteraient d’elles-mêmes si elles étaient établies ; il faut supposer que la quantité $v$ ne varie point par rapport à $t,$ ce qui rend nul le terme ${\tfrac {dv}{dt}}.$ On aura ainsi l’équation

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}={\frac {hl}{\mathrm {KS} }}v\quad \mathrm {ou} \quad v=\mathrm {M} e^{-x{\sqrt {\frac {hl}{\mathrm {KS} }}}}+\mathrm {N} e^{+x{\sqrt {\frac {hl}{\mathrm {KS} }}}},$

$\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant les deux constantes.

107.

Supposons qu’une portion de la circonférence de l’anneau, placée entre deux foyers consécutifs, soit divisée en parties égales, désignons par $v_{1}\,v_{2}\,v_{3}\,v_{4},$ etc., les températures des points de division dont les distances à l’origine sont $x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4},$ etc., la relation entre $v$ et $x$ sera donnée par l’équation précédente, après que l’on aura déterminé les deux constantes au moyen des deux valeurs de $v$ qui correspondent aux foyers. Désignant par $\alpha$ la quantité $\textstyle e^{-{\sqrt {\tfrac {hl}{\mathrm {KS} }}}}$