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CHAPITRE VI.

DU MOUVEMENT DE LA CHALEUR DANS UN CYLINDRE
SOLIDE.

306.

Le mouvement de la chaleur dans un cylindre solide d’une longueur infinie, est représenté par les équations

{\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {CD} }}\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {dv}{dx}}\right)\;\;\mathrm {et} \;\;{\frac {h}{\mathrm {K} }}\mathrm {V} +{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}=0,

que l’on a rapportées (pag. 112 et suivantes) dans les articles 118, 119 et 120. Pour intégrer ces équations, on donnera en premier lieu à $v$ une valeur particulière très-simple exprimée par l’équation $v=e^{-mt}u$ ; $m$ est un nombre quelconque, et $u$ une fonction de $x.$ On désigne par $k$ le coëfficient ${\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {CD} }}$ qui entre dans la première équation et par $h$ le coëfficient ${\frac {h}{\mathrm {K} }}$ qui entre dans la seconde. En substituant la valeur attribuée à $v,$ on trouve la condition suivante :

{\frac {m}{k}}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {du}{dx}}=0.

On choisira donc pour $u$ une fonction de $x$ qui satisfasse à cette équation différentielle. Il est facile de voir que cette fonction peut être exprimée par la série suivante :