Page:Galois - Œuvres mathématiques, Gauthier-Villars, 1897.djvu/37

— 9 —

NOTES
sur
QUELQUES POINTS D’ANALYSE (^[1]).

---

§ I. — Démonstration d’un théorème d’Analyse.

Théorème. — Soient $\textstyle \operatorname {F} x$ et $\textstyle \operatorname {f} x$ deux fonctions quelconques données ; on aura, quels que soient $x$ et $h$,

${\frac {\operatorname {F} (x+h)-\operatorname {F} x}{\operatorname {f} (x+h)-\operatorname {f} x}}=\varphi (k),$

$\varphi$ étant une fonction déterminée, et $k$ une quantité intermédiaire entre $x$ et $x+h$.

Démonstration. — Posons, en effet,

${\frac {\operatorname {F} (x+h)-\operatorname {F} x}{\operatorname {f} (x+h)-\operatorname {f} x}}=\mathrm {P} ;$

on en déduira

$\operatorname {F} (x+h)-\mathrm {P} \operatorname {f} (x+h)=\operatorname {F} x-\mathrm {P} \operatorname {f} x;$

d’où l’on voit que la fonction $\operatorname {F} x-\mathrm {P} \operatorname {f} x$ ne change pas quand on y change $x$ en $x+h$ ; d’où il suit qu’à moins qu’elle ne reste constante entre ces limites, ce qui ne pourrait avoir lieu que dans des cas particuliers, cette fonction aura, entre $x$ et $x+h$, un ou plusieurs maxima et minima. Soit $k$ la valeur de $x$ répondant à l’un d’eux ; on aura évidemment $k=\psi (\mathrm {P} )$, $\psi$ étant une fonction déterminée ; donc on doit avoir aussi $\mathrm {P} =\varphi (k)$, $\varphi$ étant une autre fonction également déterminée ; ce qui démontre le théorème.

De là on peut conclure, comme corollaire, que la quantité

$\operatorname {lim.} {\frac {\operatorname {F} (x+h)-\operatorname {F} x}{\operatorname {f} (x+h)-\operatorname {f} x}}=\varphi (x),$

pour $h=0$, est nécessairement une fonction de $x$, ce qui démontre, a priori, l’existence des fonctions dérivées.

1. Annales de Mathématiques de M. Gergonne, tome XXI, page 182 (1830-1831). C’est par suite d’une faute d’impression qu’on y lit : Galais, élève à l’École normale, au lieu de Galois. (J. Liouville.)