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Soient $0$ et $\infty$ deux lettres conjointes dans l’un de ces groupes. Les substitutions qui ne font pas changer 0 et $\infty$ de place seront de la forme

$x_{k},\;x_{m^{2}k}$

Donc si $\mathrm {M}$ est la lettre conjointe de 1, la lettre conjointe de $m^{2}$ sera $m^{2}M$. Quand $\mathrm {M}$ est un carré, on aura donc $\mathrm {M} ^{2}=1$. Mais cette simplification ne peut avoir lieu que pour $p=5$.

Pour $p=7$ on trouve un groupe de $(p+1){\frac {p-1}{2}}$ permutations, où

$\infty ,\,1,\,2,\,4$

ont respectivement pour lettres conjointes

$0,\,3,\,6,\,5.$

Ce groupe a ses substitutions de la forme

$x_{k},x_{a{\frac {k-b}{k-c}}},$

$b$ étant la lettre conjointe de $c$, et $a$ une lettre qui est résidu ou non résidu en même temps que $c$.

Pour $p=11$, les mêmes substitutions auront lieu avec les mêmes notations,

$\infty ,\,1,\,3,\,5,\,5,\,9$

ayant respectivement pour conjointes

$0,\,2,\,6,\,8,\,10,\,7.$

Ainsi, pour le cas de $p=$ 5, 7, 11, l’équation modulaire s’abaisse au degré $p$. En toute rigueur, cette équation n’est pas possible dans les cas plus élevés.

Le troisième Mémoire concerne les intégrales.

On sait qu’une somme de termes d’une même fonction elliptique se réduit toujours à un seul terme, plus des quantités algébriques ou logarithmiques.

Il n’y a pas d’autres fonctions pour lesquelles cette propriété ait lieu.

Mais des propriétés absolument semblables y suppléent dans toutes les intégrales de fonctions algébriques.