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la permutation d’où l’on sera parti. Donc, si dans un pareil groupe on a les substitutions S et T, on est sûr d’avoir la substitution ST.

Telles sont les définitions que nous avons cru devoir rappeler.

Lemme I. — Une équation irréductible ne peut avoir aucune racine commune avec une équation rationnelle, sans la diviser.

Car le plus grand commun diviseur entre l’équation irréductible et l’autre équation sera encore rationnel ; donc, etc.

Lemme II. — Étant donnée une équation quelconque, qui n’a pas de racines égales, dont les racines sont $a,b,c,\ldots ,$ on peut toujours former une fonction $\mathrm {V}$ des racines, telle qu’aucune des valeurs que l’on obtient en permutant dans cette fonction les racines de toutes manières, ne soit égale à une autre.

Par exemple, on peut prendre

$\mathrm {V} =\mathrm {A} a+\mathrm {B} b+\mathrm {C} c+\ldots ,$

$\mathrm {A,B,C}$ étant des nombres entiers convenablement choisis.

Lemme III. — La fonction $\mathrm {V}$ étant choisie comme il est indiqué dans l’article précédent, elle jouira de cette propriété, que toutes les racines de l’équation proposée s’exprimeront rationnellement en fonction de $\mathrm {V}$.

En effet, soit

$\mathrm {V} =\varphi (a,b,c,d,\ldots ),$

ou bien

$\mathrm {V} -\varphi (a,b,c,d,\ldots )=0.$

Multiplions entre elles toutes les équations semblables, que l’on obtient en permutant dans celles-ci toutes les lettres, la première seulement restant fixe ; il viendra une expression suivante :

$\left[\mathrm {V} -\varphi (a,b,c,d,\ldots )\right]\left[\mathrm {V} -\varphi (a,c,b,d,\ldots )\right]\left[\mathrm {V} -\varphi (a,b,d,c,\ldots )\right]\ldots ,$

symétrique en $b,c,d,\ldots ,$ laquelle pourra, par conséquent, s’écrire en fonction de $a$. Nous aurons donc une équation de la forme

$\operatorname {F} (\mathrm {V} ,a)=0.$