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DES ÉQUATIONS PRIMITIVES
QUI SONT SOLUBLES PAR RADICAUX (^[1])
(Fragment.)
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Cherchons, en général, dans quel cas une équation primitive est soluble par radicaux. Or, nous pouvons de suite établir un caractère général fondé sur le degré même de ces équations. Ce caractère est celui-ci : Pour qu’une équation primitive soit résoluble par radicaux, il faut que son degré soit de la forme $p^{\nu }$, $p$ étant premier. Et de là suivra immédiatement que, lorsqu’on aura à résoudre par radicaux une équation irréductible dont le degré admettrait des facteurs premiers inégaux, on ne pourra le faire que par la méthode de décomposition due à M. Gauss ; sinon l’équation sera insoluble.

Pour établir la propriété générale que nous venons d’énoncer relativement aux équations primitives qu’on peut résoudre par radicaux, nous pouvons supposer que l’équation que l’on veut résoudre soit primitive, mais cesse de l’être par l’adjonction d’un simple radical. En d’autres termes, nous pouvons supposer que, $n$ étant premier, le groupe de l’équation se partage en $n$ groupes irréductibles conjugués, mais non primitifs. Car, à moins que le degré de l’équation soit premier, un pareil groupe se présentera toujours dans la suite des décompositions.

Soit $\mathrm {N}$ le degré de l’équation, et supposons qu’après une extraction de racine de degré premier $n$, elle devienne non primitive et se partage en $\mathrm {Q}$ équations primitives de degré $\mathrm {P}$, au moyen d’une seule équation de degré $\mathrm {Q}$.

Si nous appelons $\mathrm {G}$ le groupe de l’équation, ce groupe devra se partager en $n$ groupes conjugués non primitifs, dans lesquels les lettres se rangeront en systèmes composés de $\mathrm {P}$ lettres conjointes chacun. Voyons de combien de manières cela pourra se faire.

Soit $\mathrm {H}$ l’un des groupes conjugués non primitifs. Il est aisé de

1. Voir la Note 1 de la page 33.