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RECHERCHES

105. Il reste à examiner le cas où le module m est composé de plusieurs nombres premiers. Soit $m=abc$ etc., $a$, $b$, $c$, etc. étant des nombres premiers différens, ou des puissances de nombres premiers différens. Il est clair d’abord que si $n$ est résidu de $m$, il le sera aussi des différens nombres $a$, $b$, $c$, etc., et que partant il sera non-résidu de $m$, s’il est non-résidu de quelqu’un de ces nombres. Réciproquement, si $n$ est résidu des différens nombres $a,$ $b,$ $c,$ etc., il le sera de leur produit $m\,;$ en effet, si l’on a $n\equiv A^{2},$ $B^{2},$ $C^{2},$ etc., suivant les modules $a,$ $b,$ $c,$ etc. respectivement, et qu’on cherche un nombre $N$ congru aux nombres $A,$ $B,$ $C,$ etc., suivant les modules $a,$ $b,$ $c,$ etc. respectivement (n^o 32), on aura $n\equiv N^{2},$ suivant tous ces modules, et conséquemment suivant leur produit.

Comme on voit facilement que la valeur de $N$ résulte de la combinaison d’une valeur quelconque de $A,$ ou de l’expression ${\sqrt {n}}{\pmod {m}},$ avec une valeur quelconque de $B,$ avec une valeur quelconque de $C,$ etc, que les différentes combinaisons donneront des valeurs différentes, et qu’elles les donneront toutes ; le nombre des valeurs de $N$ sera égal au produit des nombres de valeurs de $A,$ $B,$ $C,$ etc. que nous avons appris à déterminer dans l’article précédent.

Il est évident que si l’on connaît une valeur de l’expression ${\sqrt {n}}{\pmod {m}},$ ou de $N,$ ce sera aussi une valeur de $A,$ $B,$ $C,$ etc. ; et comme par l’article précédent on peut en déduire toutes les autres valeurs de ces quantités, il s’ensuit que l’on pourra trouver toutes les valeurs de $N,$ lorsqu’on en connaîtra une.

Exemple. Soit le module $315\,;$ on demande si $46$ est un résidu ou un non-résidu. Les diviseurs premiers de $315$ sont $3,$ $5,$ $7,$ et $46$ est résidu de chacun d’eux ; donc il est résidu de $315.$ Or comme $46\equiv 1$ et $\equiv 64{\pmod {9}},$ $\equiv 1$ et $\equiv 16{\pmod {5}},$ $\equiv 4$ et $\equiv 25{\pmod {7}},$ on trouve pour les racines des quarrés congrus à $46$ suivant le module $315,$ les nombres $19,$ $26,$ $44,$ $89,$ $226,$ $271,$ $289,$ $296.$

106. On voit par ce qui précède, qu’il suffit de reconnaître si un nombre donné est résidu ou non-résidu d’un nombre premier donné, et que tous les cas reviennent à celui-là. Nous devons donc chercher pour ce cas des caractères certains ; mais avant d’en-