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ARITHMÉTIQUES.

néralement, section VII, que l’expression ${\frac {4(x^{p}-1)}{x-1}}$ peut toujours être ramenée à la forme $X^{2}\mp pY^{2},$ $X$ et $Y$ étant des fonctions rationnelles et entières de $x,$ et où l’on doit prendre le signe supérieur, quand $p$ est un nombre premier de la forme $4n+1,$ et le signe inférieur, quand $p$ est de la forme $4n+3.$ Lagrange n’a pas poussé cette analyse au-delà du cas où $p=7$ (Voyez ibidem).

125. Puisque les méthodes précédentes ne suffisent pas pour établir des démonstrations générales, il est temps d’en exposer une autre exemple de ce défaut. Commençons par un théorème dont la démonstration nous a long-temps échappé, quoique au premier aspect il paraisse si facile, que plusieurs auteurs n’ont pas même cru qu’il fût nécessaire de le démontrer. C’est celui-ci : Tout nombre, si l’on en excepte les quarrés pris positivement, est toujours non-résidu de quelques nombres premiers. Mais comme ce théorème ne nous servira que d’auxiliaire pour d’autres démonstrations, nous ne présenterons que les cas dont nous pourrons avoir besoin ; les autres se trouveront démontrés par la suite. Nous allons donc faire voir que tout nombre premier de la forme $4\mathrm {n} +1$ soit positif, soit négatif, est non-résidu de quelques nombres premiers, et même de nombres premiers plus petits que lui^[1].

Quand le nombre premier $p$ de la forme $4n+1$ est pris négativement, soit $2a$ le nombre pair immédiatement plus grand que ${\sqrt {p}}.$ On voit facilement que $4a^{2}$ est toujours $<2p$ ^[2] ou que $4a^{2}-p<p.$

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↑ Il est évident qu’il faut excepter $+1.$
↑ L’assertion de l’auteur est vraie, excepté pour les valeurs $p=5$ et $p=17.$ Soit en effet $p=m^{2}+k,$ $m$ étant le plus grand quarré contenu dans $p\,;$ on aura $2a=m+1$ ou $m+2,$ suivant que $m$ sera impair ou pair, donc $4a^{2}$ sera $m^{2}+2m+1$ ou $m^{2}+4m+4\,;$ d’où il suit
$4a^{2}-2p=1-2k+2m-m^{2}=2(1-k)-(m-1)^{2}$ ou $4a^{2}-2p=2(4-k)-(m-2)^{2}$ ; or dans le premier cas on a évidemment $4a^{2}-2p<0$ , puisque $k$ ne peut pas être plus petit que $4.$
Dans le second cas, l’assertion est en défaut pour tous les nombres dans lesquels $k<4$ (ce qui exige qu’on ait $k=1,$ puisque $k$ est de la forme $4n+1$ ), et $(m-2)^{2}<6$ , c’est-à-dire, pour les nombres pour lesquels $m=2$ ou $m=4\,;$ ces nombres sont donc $2^{2}+1=5$ et $4^{2}+1=17\,;$ mais pour tout autre on aura $4a^{2}-2p<0.$
On peut substituer la démonstration suivante qui n’offre aucune exception.

[1] Il est évident qu’il faut excepter $+1.$

[p91-2] L’assertion de l’auteur est vraie, excepté pour les valeurs $p=5$ et $p=17.$ Soit en effet $p=m^{2}+k,$ $m$ étant le plus grand quarré contenu dans $p\,;$ on aura $2a=m+1$ ou $m+2,$ suivant que $m$ sera impair ou pair, donc $4a^{2}$ sera $m^{2}+2m+1$ ou $m^{2}+4m+4\,;$ d’où il suit
$4a^{2}-2p=1-2k+2m-m^{2}=2(1-k)-(m-1)^{2}$ ou $4a^{2}-2p=2(4-k)-(m-2)^{2}$ ; or dans le premier cas on a évidemment $4a^{2}-2p<0$ , puisque $k$ ne peut pas être plus petit que $4.$
Dans le second cas, l’assertion est en défaut pour tous les nombres dans lesquels $k<4$ (ce qui exige qu’on ait $k=1,$ puisque $k$ est de la forme $4n+1$ ), et $(m-2)^{2}<6$ , c’est-à-dire, pour les nombres pour lesquels $m=2$ ou $m=4\,;$ ces nombres sont donc $2^{2}+1=5$ et $4^{2}+1=17\,;$ mais pour tout autre on aura $4a^{2}-2p<0.$
On peut substituer la démonstration suivante qui n’offre aucune exception.

[1]

[2]