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RECHERCHES

car il n’a pas été démontré qu’il en existe de tels sous l’une ou l’autre forme.

I. Soit ce nombre premier de la forme $4n+1$ et $=a'$ , alors on aura $\pm a'Na$ (n^o 137), d’où $\pm a'pRa$ . Soit donc $e^{2}\equiv a'p{\pmod {a}}$ . Il y aura encore quatre cas à distinguer :

1^o . Quand $e$ n’est divisible ni par $p$ , ni par $a'$ . Soit $e^{2}=a'p\pm af$ , en prenant les signes de telle manière que $f$ soit positif. Alors on aura $f<a$ premier avec $a'$ et $p$ : pour le signe supérieur, il sera de la forme $4n+3$ ; pour le signe inférieur, de la forme $4n+1$ . Désignons, pour abréger, par $[x,y]$ le nombre de facteurs premiers de $y$ , dont $x$ est non-résidu ; comme on a évidemment $a'pRf$ , il s’ensuit $[a'p,f]=0$ ; donc $[f,a'p,]$ sera un nombre pair (prop. 1, 3, n^o 133), c’est-à-dire ou $=0$ , ou $=2$ ; donc $f$ sera résidu des deux nombres $a'$ et $p$ , ou ne le sera d’aucun des deux ; mais la première supposition est inadmissible, puisque $\pm af$ est résidu de $a'$ et que $\pm aNa'$ (hyp.), d’où il résulte $\pm fNa'$ . Donc $f$ est non-résidu des deux nombres $a'$ et $p\ ;$ mais puisque $\pm afRp$ , on aura $\pm aNp$ .

2^o . Quand $e$ est divisible par $p$ et non par $a'$ . Soit $e=gp$ et $g^{2}p=a'\pm ah$ , le signe étant pris de manière à ce que $h$ soit positif. On aura $h<a$ et premier avec $a'$ , $g$ et $p$ , pour le signe supérieur de la forme $4n+3$ , et pour le signe inférieur de la forme $4n+1$ . En multipliant tantôt par $p$ et tantôt par $a'$ l’équation $g^{2}p=a'\pm ah$ , on en tire sans peine

pa'Rh

....(α) ——

\pm ahpRa'

....(β) ——

aa'hRp

....(γ).

De (α) il suit que $[pa',h]$ , et partant (prop. 1 et 3, n^o 133) $[h,pa']$ pair, c’est-à-dire que $h$ sera résidu ou non-résidu de $p$ et de $a'$ . Dans le dernier cas, il suit de (β) que $\pm apNa'$ et comme par hypothèse $\pm aNa'$ , on aura $\pm pRa'$ ; donc, par le théorème fondamental qui a lieu pour les nombres $p$ et $a'$ moindres que $T+1$ , $\pm a'Rp$ . De là et de ce que $hNp$ on tire, au moyen de (γ), $\pm aNp$ . Dans le premier cas, de (β) on tire $\pm apRa'$ , d’où $\pm pNa'$ , $\pm a'Np$ ; de là enfin et de $hRp$ on déduit, au moyen de (γ), $\pm aNp$ .

3^o . Quand $e$ est divisible par $a'$ et non par $p$ , la démonstra-

tion