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ARITHMÉTIQUES.

tion procède presque de la même manière que dans l’hypothèse précédente, et ne pourra pas arrêter celui qui l’a bien conçue.

4^o . Quand $e$ sera divisible à-Ia-fois par $a'$ et par $p$ , il le sera aussi par le produit $a'p$ ; (en effet nous supposons les nombres $a'$ et $p$ inégaux, sans cela l’hypothèse $aNa'$ contiendrait la relation $aNp$ , qu’il s’agit de démontrer). Soit $e=ga'p$ et $g^{2}a'p=1\pm ah$ , $h$ sera $<a$ et premier avec $p$ et $a'$ ; il sera pour le signe supérieur de la forme $4n+3$ , et pour le signe inférieur de la forme $4n+1$ . Or on voit facilement que de cette équation on peut déduire

a'pRh,

——

\pm ahpRa',

——

aa'hRp,

relations qui s’accordent avec celles trouvées (2^o.). Quant au reste, la démonstration est la même.

II. Quand le nombre premier est de la forme $4n+3$ , la démonstration est si conforme à la précédente, qu’il nous a paru superflu de la placer ici. Nous observerons seulement, en faveur de ceux qui veulent la faire eux-mêmes (ce que nous recommandons), qu’il est avantageux, lorsqu’on est arrivé à l’équation $e^{2}=bp\pm af$ , dans laquelle $b$ représente le nombre premier de considérer séparément les deux signes.

140. Quatrième cas. Quand $\mathrm {T} +1$ est de la forme $4\mathrm {n} +1$ ( $=\mathrm {a}$ ), $\mathrm {p}$ de la forme $4\mathrm {n} +3$ et $\mathrm {\pm pNa} ,$ on ne peut avoir $\mathrm {+aRp} ,$ ou $\mathrm {-aNp} .$ Sixième cas du n^o 131.

Nous omettons la démonstration de ce cas, parcequ’elle est absolument semblable à celle du troisième.

141. Cinquième cas. Quand $\mathrm {T} +1$ est de la forme $4\mathrm {n} +3$ ( $=\mathrm {b}$ ), et $\mathrm {p}$ de la même forme, et que l’on a $\mathrm {pRb} ,$ ou $-\mathrm {pNb} ,$ on ne peut avoir $\mathrm {+bRp} ,$ ou $\mathrm {-bNp} .$ Troisième cas du n^o 132.

Soit $p\equiv e^{2}{\pmod {b}}$ , $e$ étant pair et $<b$ .

I. Quand $e$ n’est pas divisible par $p$ ; soit $e^{2}=p+bf$ , $f$ sera positif, $<b$ , de la forme $4n+3$ et premier avec $p$ . Or on a $pRf$ , et partant (prop. 13, n^o 132) $-fRp$ mais comme $bfRp$ , il s’ensuit que $-bRp$ , d’où $+bNp$ .

II. Quand $e$ est divisible par $p$ ; soit $e=pg$ et $g^{2}p=1+bh$ . Alors $h$ sera de la forme $4n+1$ et premier avec $p$ , $p\equiv b^{2}p^{2}$ -

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