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RECHERCHES

aura donc $pRGH,$ d’où $GHRp,$ et comme nous avons déjà $FLRp$ , il s’ensuit $FGHLRp$ ou $qRp$ ; d’ailleurs l’équation $e^{2}=2p+aq$ donne encore $aqRp,$ donc $aRp,$ contre l’hypothèse. Dans le cas où $p$ est de la forme $4n+3$ et $q$ de la forme $8n+3,$ on peut faire voir de la même manière que $pRF,$ et partant $FRp,$ $-pRG,$ donc $GRp\,;$ enfin, que $h+l$ est pair, et parconséquent, $HLRp,$ d’où il suit $qRp$ et $aRp,$ contre l’hypothèse.

II. Quand $e$ est divisible par $p,$ la démonstration peut s’établir d’une manière semblable : nous laissons au lecteur le soin de la trouver.

146. Au moyen du théorème fondamental et des propositions relatives à $-1$ et $\pm 2,$ on peut toujours déterminer si un nombre donné quelconque est résidu ou non-résidu d’un nombre premier donné. Mais il ne sera pas inutile de reprendre ici ce que nous avons fait voir plus haut, afin de réunir tout ce qui est nécessaire pour la solution de ce problême-ci :

Étant donnés deux nombres quelconques $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ trouver si l’un d’eux est résidu ou non-résidu de l’autre.

I. Soit $P=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }$ etc., $a$ , $b$ , $c$ , etc. désignant des nombres premiers inégaux pris positivement ; car il est évident que $P$ doit être toujours regardé comme positif. Pour abréger, dans ce numéro nous appellerons simplement relation de deux nombres $x$ , $y$ , celle qui existe entre ces deux nombres, en tant que le premier $x$ , est résidu ou non-résidu du second $y$ . La relation des nombres $Q$ et $P$ dépend ainsi de la relation des nombres $Q$ et $a^{\alpha }$ , $Q$ et $b^{\beta }$ , etc. (n^o 105).

II. Cherchons la relation des nombres $Q$ et $a^{\alpha }$ ; et ce que nous allons dire s’appliquera également aux relations de $Q$ et $b^{\beta }$ , etc.

1^o. Quand $Q$ est divisible par $a$ , soit $Q=Q'a$ , $Q'$ n’étant pas divisible par $a$ ; alors si $e=\alpha$ ou $>\alpha$ , on aura $QRa^{\alpha }$ , mais si $e<\alpha$ et impair, on aura $QNa^{\alpha }$ ; enfin si $e<\alpha$ et pair, la relation de $Q$ à $a^{\alpha }$ sera la même que celle de $Q$ à $a^{\alpha -e}$ . Ainsi ce cas est ramené au suivant. (Voyez n^o 102).