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ARITHMÉTIQUES.

posé impair qui sera contenu dans la forme des non-diviseurs sera non-diviseur de $x^{2}-A$ ; mais on ne peut pas dire que les non-diviseurs de $x^{2}-A$ sont tous compris dans la forme des non-diviseurs, car en supposant $B$ non-diviseur de $x^{2}-A$, quelques-uns de ses facteurs premiers seront non-diviseurs de $x^{2}-A$, et si le nombre de ces facteurs est pair, $B$ sera compris dans quelque forme de diviseurs (n^o 93).

Ainsi, soit $A=-11$ ; on trouvera que les formes des diviseurs de $x^{2}+11$ sont $11k+1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $9$, et que celles des non-diviseurs sont $11k+2$, $6$, $7$, $8$, $10$. Ainsi $-11$ sera résidu de tous les nombres premiers contenus dans une des premières formes, et non-résidu de ceux qui sont contenus dans une des dernières.

On peut trouver des formes semblables pour les diviseurs et les non-diviseurs de $x^{2}-A$, quel que soit $A$ ; mais on voit aisément qu’on n’a à considérer que les valeurs de $A$ qui ne sont divisibles par aucun quarré ; car si $A=a^{2}A'$, tous les diviseurs de $x^{2}-A$ premiers avec $A$, seront diviseurs de $x^{2}-A'$, et de même pour les non-diviseurs. Or nous distinguerons trois cas : 1^o . quand $A$ est de la forme $4n+1$ ou $-(4n-1)$ ; 2^o . quand $A$ est de la forme $4n-1$ ou $-(4n+1)$ ; 3^o . quand $A$ est pair ou de la forme $\pm (4n+2)$.

148. Premier cas. Quand $A$ est de la forme $4n+1$ ou $-(4n-1)$. On résoudra $A$ en facteurs premiers, $a$, $b$, $c$, $d$, etc., en affectant du signe $+$ ceux de la forme $4n+1$, et du signe $-$ ceux de la forme $4n-1$ qui seront en nombre pair ou impair, suivant que $A$ sera de la forme $4n+1$ ou $-(4n-1)$ (n^o 132), On distribuera en deux classes les nombres plus petits que $A$ et premiers avec lui ; en mettant dans la première ceux qui ne sont non-résidus d’aucun diviseur de $A$, ou qui sont non-résidus d’un nombre pair de ces diviseurs, et dans la seconde ceux qui sont non-résidus d’un nombre impair des mêmes diviseurs. Désignons les premiers par $r$, $r'$, $r''$, etc. et les secondes par $n$, $n'$, $n''$, etc. ; alors $Ak+r$, $Ak+r'$, etc., sont les formes des diviseurs de $x^{2}-A$, et $Ak+n$, $Ak+n'$, etc. celles des non-diviseurs. C’est-à-dire que tout nombre premier, excepté $2$, sera diviseur ou non-diviseur de $\mathrm {x^{2}-A} ,$ suivant qu’il sera contenu dans l’une des premières ou l’une des dernières formes.

En effet, si $p$ est un nombre premier résidu ou non-résidu