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RECHERCHES

premiers contenus dans les formes $8Qk+r$, $8Qk+r'$, $8Qk+r''$, etc., et non-résidu de tous ceux contenus dans les formes $8Qk+n$, $8Qk+n'$, $8Qk+n''$, etc. Au reste, on peut démontrer facilement qu’il y a autant de formes de diviseurs qu’il y en a de non-diviseurs.

Exemple. On trouve ainsi que $10$ est résidu de tous les nombres premiers contenus dans les formes $4K+1$, $+3$, $+9$, $+13$, $+27$, $+31$, $+37$, $+39$, et non-résidu de tous les nombres premiers contenus dans les formes $40K+7$, $+11$, $+17$, $+19$, $+21$, $+23$, $+29$, $+33$.

150. Ces formes ont plusieurs propriétés assez remarquables ; nous n’en citerons cependant qu’une seule. Si $B$ est un nombre composé premier avec $A$, tel qu’un nombre $2m$ de ses facteurs premiers soient compris dans quelque forme de non-diviseurs de $x^{2}-A$, $B$ sera contenu dans quelque forme de diviseurs de $x^{2}-A$ ; mais si le nombre de facteurs premiers de $B$ contenus dans quelque forme de non-diviseurs de $x^{2}-A$ est impair, $B$ sera aussi contenu dans quelque forme de non-diviseurs. Nous omettons la démonstration, qui n’a rien de difficile. Il suit de là que non-seulement tout nombre premier, mais aussi tout nombre composé impair et premier avec $A$ est non-diviseur dès qu’il est contenu dans une des formes de non-diviseur ; car nécessairement quelque facteur premier de ce nombre sera non-diviseur.

151. Le théorème fondamental que nous avons présenté d’une manière très-simple et qui le met au nombre des théorèmes les plus élégans dans ce genre, n’a été jusqu’ici démontré par personne ; ce qui doit d’autant plus étonner, qu’Euler connaissait quelques propositions qui en dérivent et desquelles il était facile de revenir à ce théorème. Il avait en effet découvert qu’il existait de certaines formes sous lesquelles se présentaient tous les diviseurs premiers de $x^{2}-A$ et d’autres qui comprenaient tous les non-diviseurs, de manière à s’exclure réciproquement ; il avait même donné le moyen de les trouver. Mais il avait envain cherché à démontrer sa méthode, et ses efforts n’avaient eu d’autre fruit que de donner un plus grand degré de vraisemblance à cette proposition, qu’il avait trouvée par induction. À la vérité, dans un Mémoire lu à l’Académie de Pétersb. le 20 novembre 1775, intitulé : Novæ