si et sont de la forme , l’un des résidus minima sera
et l’autre (p. 516) ; d’où, au moyen du no 106, il s’ensuit que la relation de à est la même que celle de à ,
quand ou est de la forme , et qu’elle est inverse
quand et sont de la forme [1]. Cette proposition est
contenue parmi celles du no131 ; elle suit aussi des propositions
1, 3, 9 du no 133 ; réciproquement, le théorème fondamental peut
se déduire de la proposition de Legendre. Ce célèbre auteur en
a donné la démonstration, et comme elle est très ingénieuse,
nous en parlerons plus amplement dans la section suivante. Comme
il y suppose plusieurs choses sans démonstration (ainsi qu’il en
convient lui-même, p. 520 : Nous avons supposé seulement, etc.)
dont jusqu’à présent une partie n’a été démontrée par personne, et
dont l’autre partie ne peut, selon nous, l’être que par le théorème
fondamental, il nous semble que la route qu’il a prise ne peut pas
lui faire éviter la difficulté, et notre démonstration peut être
regardée comme la première.
Au reste, nous donnerons plus bas deux autres démonstrations de cet important théorème, absolument différentes entre elles, et de la précédente.
152. Jusqu’à présent nous n’avons traité que la congruence simple , et nous avons appris à reconnaître les cas où elle est résoluble. Par le no 105, la recherche des racines elles-mêmes est ramenée au cas où est un nombre premier, ou une puissance d’un nombre premier ; et par le no 101, ce dernier cas est ramené à celui où est un nombre premier. Quant à celui-ci, en comparant ce que nous avons dit (nos 61 et suiv.) avec ce que nous enseignerons sect. V et VIII, on aura presque tout ce qui peut se faire par les méthodes générales. Mais dans les cas où elles sont applicables, elles sont infiniment plus longues que les méthodes indirectes que nous exposerons dans la section VI, et partant elles sont moins remarquables par leur utilité dans la pratique que par leur beauté.
- ↑ Le mot relation reçoit ici le sens que nous lui avons donné no 146.
