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ARITHMÉTIQUES.

ou bien comme $2Dee'=2d=2b^{2}-ac$,

$4b'^{2}-D(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )^{2}=4b^{2}$……(9)

Si l’on multiplie la troisième par la quatrième, il vient

$a'(A\beta \beta '+B(\beta \delta '+\beta '\delta )+C\delta \delta ')-D(\alpha \delta '-\gamma \beta ')(\beta \gamma '-\alpha '\delta )=b^{2}$

et comme

$D(\alpha \delta '-\gamma \beta ')(\beta \gamma '-\alpha '\delta )$	$=$		$D(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )$
		$-$	$D(\alpha \delta -\beta \gamma )(\alpha '\delta '-\beta '\gamma )$
	$=$		$D(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )-b^{2}+ac$

si l’on fait d’ailleurs $A\beta \beta '+B(\beta \delta '+\beta '\delta )+C\delta \delta '=c'$, on aura

$a'c'-D(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )=ac$…… (10) ;

en ajoutant le produit de la troisième par la sixième à celui de la quatrième et de la cinquième, on aura

$2b'c'-D(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )(\beta \delta '-\beta '\delta )=2bc$…… (11) ;

en multipliant la cinquième par la sixième, on trouvera

$c'^{2}-D(\beta \delta '-\beta '\delta )^{2}=c^{2}$…… (12).

Supposons maintenant que $m$ soit le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $2b$, $c$, et que les nombres $A'$, $B'$, $C'$ soient déterminés, de manière qu’on ait $A'a+2B'b+C'c=m$ (n^o 40). Multiplions les équations (7), (8), (9), (10), (11), (12), respectivement par $A'^{2}$, $2A'B'$, $B'^{2}$, $2A'C'$, $2B'C'$, $C'^{2}$, et ajoutons les produits, en faisant pour abréger,

$A'a'+2B'b'+C'c'=T$…… (13)

et

$A'(\alpha \gamma '-\alpha '\gamma )$
$+B'(\alpha \delta '-\alpha '\delta +\beta \gamma '-\beta '\gamma )$
$+C'(\beta \delta '-\beta '\delta )$	$=U$,…… (14),

on trouve $T^{2}-DU^{2}=m^{2}$, $T$ et $U$ étant manifestement entiers.

Nous sommes donc conduits à cette conclusion élégante, que la solution de l’équation indéterminée $\mathrm {t^{2}-Du^{2}=m^{2}}$ en nombres entiers dépend de deux transformations quelconques semblables de la forme $\mathrm {F}$ en la forme $\mathrm {f} ,$ en prenant $t=T$, $u=U$. Au reste, comme dans nos raisonnemens nous n’avons pas supposé que les transformations fussent différentes, une seule transformation prise deux fois doit donner une solution ; mais alors $\alpha '=\alpha$, $\beta '=\beta$, etc., $a'=a$, $b'=b$, etc., et partant $T=m$ et $U=0$, solution qui se présentait d’elle-même.

Considérons maintenant comme connue la première transformation, et la solution de liquation indéterminée, et cherchons