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ARITHMÉTIQUES.

Comme on doit avoir $5\mu -\nu =1$, on satisfera évidemment à cette équation en faisant $\mu =0$ et $\nu =-1$ ; d’ailleurs on trouve $e=3$, $a=-237$, $b=-1170$, $c=48$ ; leur plus grand commun diviseur $r=3$ : ce qui donne pour la transformation qui change $F$ en $G$, $x=5t-u$ et $y=-t$. La forme ambiguë $G$ est elle-même $t^{2}-16tu+3u^{2}$.

Si les formes $F$ et $F'$ sont équivalentes, la forme $G$ sera aussi renfermée dans $F'$ puisqu’elle l’est dans $F$ ; mais comme elle renferme cette même forme, elle lui sera équivalente, et partant à la forme $F$ ; ainsi dans ce cas le théorème s’énoncera ainsi :

Si $\mathrm {F}$ et $\mathrm {F'}$ sont équivalentes tant proprement qu’improprement, on pourra trouver une forme ambiguë équivalente à chacune d’elles. Au reste, dans ce cas $e=\pm 1$, et partant $r$ qui divise $e$ doit être aussi $=1$.

Ce que nous avons dit suffit pour la transformation des formes en général ; passons à la représentation des nombres.

166. Si la forme $\mathrm {F}$ renferme la forme $\mathrm {F'}$ tout nombre qui pourra être représenté par $\mathrm {F'}$ pourra l’être aussi par $\mathrm {F} .$

Soient $x$, $y$ ; $x'$, $y'$ les indéterminées des formes $F$ et $F'$ respectivement, et supposons que le nombre $M$ puisse être représenté par $F'$ en faisant $x'=m$ et $y'=x$, et que la forme $F$ se change en $F'$ par la transformation $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$, il est évident que $F$ deviendra $M$ en faisant $x=\alpha m+\beta n$, $y=\gamma m+\delta n$.

Si $M$ peut être représenté de plusieurs manières par $F'$, savoir, en faisant encore $x=m'$, $y=n'$, il pourra l’être aussi de plusieurs manières par $F$ : en effet, si l’on avait à-la-fois $\alpha m+\beta n=\alpha m'+\beta n'$, et $\gamma m+\delta n=\gamma m'+\delta n'$, il s’ensuivrait $m(\alpha \delta -\beta \gamma )=m'(\alpha \delta -\beta \gamma )$ et $n(\alpha \delta -\beta \gamma )=n'(\alpha \delta -\beta \gamma )$, ce qui exige que $\alpha \delta -\beta \gamma =0$, et partant, que le déterminant de la forme $F'$ soit $=0$, contre l’hypothèse, ou que $m=m'$ et $n=n'$, il suit de là qu’il y a au moins autant de manières de représenter $M$ par $F$ que par $F'$.

Si donc $F$ et $F'$ sont équivalentes, tout nombre qui pourra être représenté par l’une pourra l’être par l’autre et d’autant de manières.

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