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RECHERCHES

elles-mêmes ; désignons indéfiniment par $(a,b,c)$ les formes réduites dont le déterminant est $-D$, il s’agit de déterminer toutes les valeurs de $a$, $b$, et $c$.

Première Méthode. On prendra pour $a$ tous les nombres tant positifs que négatifs qui ne sont pas plus grands que ${\sqrt {{\frac {4}{3}}D}}$, et dont $-D$ est résidu quadratique ; et pour chaque valeur de $a$, en prendra $b$ successivement égal à toutes les valeurs de l’expression ${\sqrt {-D}}{\pmod {a}}$, qui ne sont pas $>{\frac {1}{2}}a$, en les prenant tant positiveraient que négativement. Quant à $c$, on le fera $={\frac {D+b^{2}}{a}}$. S’il résulte de là quelques formes dans lesquelles $c<a$, elles seront à rejeter, et les autres seront évidemment des fondes réduites.

Deuxième Méthode. Soient pris pour $b$ tous les nombres positifs ou négatifs qui ne surpassent pas ${\sqrt {\frac {D}{3}}}$ pour chaque valeur de $b$, on décomposera $b^{2}+D$ de toutes les manières possibles, en deux facteurs pris positivement ou négativement, et non plus petits que $2b$, en prenant l’un des deux, le plus petit s’ils sont inégaux, pour la valeur de $a$, et l’autre pour la valeur de $c$. S’il en résulte quelques formes daüs lesquelles ${\displaystyle }$ elles seront à rejeter ; les autres seront visiblement des formes réduites. Il est d’ailleurs évident qu’il n’y a pas une forme réduite qui ne puisse se trouver par chacune des deux méthodes.

Exemple. Soit $D=85$. Par la première méthode, la limite des valeurs de $a$ est ${\sqrt {\frac {340}{3}}}$ qui tombe entre $10$ et $11$. Or les nombres compris entre $1$ et $10$, et dont le résidu est $85$, sont : $1$, $2$, $5$, $10$, d’où résultent les douze formes suivantes :
$(1,0,85)$, $(-1,0,-85)$ ; $(2,1,43)$, $(2,-1,43)$, $(-2,+1,-43)$, $(-2,-1,-43)$ ; $(5,0,17)$, $(-5,0,-17)$ ; $(10,5,11)$, $(10,-5,11)$, $(-10,5,-11)$, $(-10,-5,-11)$.

Par la seconde méthode, la limite des valeurs de $b$ est ${\sqrt {\frac {85}{3}}}$ qui tombe entre $5$ et $6$. En supposant $b=0$, on trouve les formes : $(1,0,85)$, $(-1,0,-85)$, $(5,0,17)$, $(-5,0,-17)$ ; pour $b=\pm 1$ : $(2,\pm 1,43)$, $(-2,\pm 1,-43)$. Il n’y en a aucune pour $b=\pm 2$, parceque $89$ n’est pas décomposable en deux facteurs dont chacun soit non $<4$. La même chose a eu lieu pour $b=\pm 3$ et $\pm 4$.