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ARITHMÉTIQUES.

Enfin, pour $b=\pm 5$ , il vient $(10,\pm 5,11)$ , $(-10,\pm 5,-11)$ .

175. Si parmi toutes les formes déduites d’un déterminant donné, on supprime une des deux qui sans être identiques sont proprement équivalentes, celles qui resteront jouiront de cette propriété remarquable, qu’une forme quelconque de même déterminant sera proprement équivalente à quelqu’une d’entre elles, et à une seule ; car, sans cela, il resterait encore des formes réduites proprement équivalentes entre elles. D’où il suit que toutes les formes de même déterminant peuvent se distribuer en autant de classes qu’il sera resté de formes réduites, en comprenant dans la même classe les formes qui sont proprement équivalentes à la même réduite.

Ainsi, pour $D=85$ , il reste les huit formes réduites,

$(1$ ,	$0$ ,	$85)$ ,	$(2$ ,	$1$ ,	$43)$ ,	$(5$ ,	$0$ ,	$17)$ ,	$(10$ ,	$5$ ,	$11)$ ,
$(-1$ ,	$0$ ,	$-85)$ ,	$\;(-2$ ,	$1$ ,	$-43)$ ,	$\;(-5$ ,	$0$ ,	$-17)$ ,	$\;(-10$ ,	$5$ ,	$-11)$ .

Donc toutes les formes dont le déterminant est $-85$ , peuvent se distribuer en huit classes, suivant qu’elles sont proprement équivalentes à la première, à la deuxième, etc. ; et il est clair que les formes d’une même classe sont proprement équivalentes, tandis que deux formes prises dans deux classes différentes ne sauraient être proprement équivalentes. Mais nous traiterons ci-après, avec plus de détail, le sujet de la classification des formes ; nous n’ajoutons ici qu’une observation. Nous avons déjà fait voir que si le déterminant de la forme $(a,b,c)$ est négatif, $a$ et $c$ sont de même signe, et on s’assurera, comme nous l’avons fait pour les formes réduites, que si $(a,b,c)$ , $(a',b',c')$ sont deux formes équivalentes $a$ , $a'$ , $c$ , $c'$ seront de même signe^[1]. Il suit de là que les formes dont les termes extrêmes sont positifs, sont absolument distinctes de celles dont les termes extrêmes sont négatifs, et qu’il suffit dans les formes réduites, de considérer celles qui ont leurs termes extrêmes positifs, car les autres sont en même nombre, et

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↑ En effet si l’on change la première de ces formes en la seconde, par la substitution
$x=\alpha x'+\beta y'$
$y=\gamma x'+\delta y'$

on aura $a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma +c\gamma ^{2}=a'$ , d’où $aa'=(a\alpha +b\beta )^{2}+D\gamma ^{2}$ : ce produit est donc évidemment positif, et comme ni $a$ ni $a'$ ne sont nuls, il faut que tous deux soient de même signe.

[1] En effet si l’on change la première de ces formes en la seconde, par la substitution
$x=\alpha x'+\beta y'$
$y=\gamma x'+\delta y'$

on aura $a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma +c\gamma ^{2}=a'$ , d’où $aa'=(a\alpha +b\beta )^{2}+D\gamma ^{2}$ : ce produit est donc évidemment positif, et comme ni $a$ ni $a'$ ne sont nuls, il faut que tous deux soient de même signe.

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