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RECHERCHES

1^o . Aucun nombre, à moins que son résidu quadratique ne soit $-1$, ne peut être représenté par la forme $x^{2}+y^{2}$, dans laquelle $x$ et $y$ sont premiers entre eux, ou sont décomposables en deux nombres quarrés premiers entre eux ; mais tous les nombres qui jouiront de cette propriété pourront se décomposer en deux quarrés. Soit $M$ un de ces nombres, et $\pm N$, $\pm N'$, $\pm N''$, etc. les valeurs de l’expression ${\sqrt {-1}}{\pmod {M}}$ ; alors par le n^o 176 la forme $\left(M,N,{\frac {N^{2}+1}{M}}\right)$ sera proprement équivalente à la forme $(1,0,1)$ ; soit $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$ une transformation propre de la forme $(1,0,1)$ en la forme $\left(M,N,{\frac {N^{2}+1}{M}}\right)$ ; on aura les quatre représentations suivantes du nombre $M$ par la forme $x^{2}+y^{2}$, savoir, $x=\pm \alpha$,$y=\pm \gamma$ ; $x=\mp \gamma$, $y=\mp \alpha$. 2^o.— n^o 180).

Comme la forme $(1,0,1)$ est ambiguë, il est évident que la forme $\left(M,-N,{\frac {N^{2}+1}{M}}\right)$ lui est aussi proprement équivalente, et que la première se change en la seconde par la transformation propre $x=\alpha x'+\beta y'$, $y=\gamma x'+\delta y'$, d’où naissent quatre représentations de $M$ appartenantes à $-N$, $x=\pm \alpha$,$y=\mp \gamma$ ; $x=\pm \gamma$, $y=\mp \alpha$. Il suit de là qu’il y a huit représentations du nombre $M$, dont quatre appartiennent à la valeur $N$, et quatre à la valeur $-N$. Mais toutes ces représentations donnent la même décomposition du nombre $M$ en deux quarrés, $M=\alpha ^{2}+\gamma ^{2}$, tant qu’on ne considère que les quarrés, et non l’ordre et les signes des racines.

Si donc il n’y a pas d’autres valeurs que $N$ et $-N$ pour l’expression ${\sqrt {-1}}{\pmod {M}}$, ce qui arrive, par exemple, toutes les fois que $M$ est un nombre premier, $M$ ne pourra être décomposé que d’une manière en deux quarrés. Or comme $-1$ est résidu de tous les nombres premiers de la forme $4n+1$ (n^o 108), et qu’un nombre premier ne peut évidemment se partager en deux quarrés non premiers entre eux, nous aurons le théorème suivant.

Tout nombre premier de la forme $4\mathrm {n} +1$ peut être décomposé en deux quarrés, et ne peut l’être que d’une seule manière.
Ainsi :