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ARITHMÉTIQUES.

premiers entre eux. Donc, comme $-3$ est résidu de tous les nombres de la forme $3n+1$ (n^o 119), et qu’il n’y a que des nombres pairs qui peuvent être représentés par la forme $2x^{2}+2xy+2y^{2}$ , on aura, comme plus haut, le théorème suivant :

Tout nombre premier de la forme $3\mathrm {n} +1,$ peut se décomposer en un quarré et le triple d’un quarré, et cela d’une seule manière,

$1$	$=$	$1$	$+$	$0$ ,	—	$7$	$=$	$4$	$+$	$3$ ,	—	$13$	$=$	$1$	$+$	$12$ ,	—	$19$	$=$	$16$	$+$	$3$ ,
$31$	$=$	$4$	$+$	$27$ ,	—	$37$	$=$	$25$	$+$	$12$ ,	—	$43$	$=$	$16$	$+$	$27$ ,	—	$61$	$=$	$49$	$+$	$12$ ,
$67$	$=$	$64$	$+$	$3$ ,	—	$73$	$=$	$25$	$+$	$48$ ,	—	etc.

Euler a donné le premier la démonstration de ce théorème dans le mémoire déjà cité (Comm. nov. T. VIII.). Nous pourrions continuer de la même manière, et démontrer, par exemple, que tout nombre premier de la forme $20n+1$ , $20n+8$ , $20n+7$ , $20n+9$ (ceux dont $-5$ est résidu) peuvent être représentés par l’une ou l’autre des formes $x^{2}+5y^{2}$ et $2x^{2}+2xy+3y^{2}$ ; savoir, les nombres de la forme $20n+1$ , $20n+9$ , par la première ; ceux de la forme $20n+3$ , $20n+7$ , par seconde ; tandis que les nombres doubles de ceux de la forme $20n+1$ , $20n+9$ seraient représentés par la forme $2x^{2}+2xy+3y^{2}$ , et que les nombres doubles de ceux de la forme $20n+3$ , $20n+7$ , le seraient par la forme $x^{2}+5y^{2}$ : mais chacun, déduis facilement cette proposition, et une infinité d’autres particulières, tant de ce qui précède que de ce que nous allons exposer.

Nous passerons donc aux formes de déterminant positif, et comme leur nature diffère quand le déterminant est quarré, et quand il ne l’est pas, nous commencerons par exclure ici le premier cas, que nous considérerons ensuite à part.

183. Problème. Étant donnée une forme quelconque $\mathrm {(a,b,a')}$ dont le déterminant soit un nombre $\mathrm {D}$ positif et non quarré, trouver une forme $\mathrm {(A,B,C)}$ qui lui soit proprement équivalente, et dans laquelle $\mathrm {B}$ soit positif et $\mathrm {<{\sqrt {D}}}$ , et dans laquelle $\mathrm {A} ,$ s’il est positif ou $\mathrm {-A} ,$ si $\mathrm {A}$ est négatif, soit compris entre $\mathrm {{\sqrt {D}}+B}$ et $\mathrm {{\sqrt {D}}-B} .$

Nous supposons que les deux conditions ne se trouvent pas réunies dans la forme proposée, autrement il serait inutile d’en chercher