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RECHERCHES

$'\alpha$	$=h$	…	$'\beta$	$=1$	…	$'\gamma$	$=-1$	…	$'\delta$	$=0$
$''\alpha$	$='h'\alpha -1$	…	$''\beta$	$='\alpha$	…	$''\gamma$	$='h'\gamma$	…	$''\delta$	$='\gamma$
$'''\alpha$	$=''h''\alpha -'\alpha$	…	$'''\beta$	$=''\alpha$	…	$'''\gamma$	$=''h''\gamma -'\gamma$	…	$'''\delta$	$=''\gamma$
$^{(IV)}\alpha$	$='''h'''\alpha -''\alpha$	…	$^{(IV)}\beta$	$='''\alpha$	…	$^{(IV)}\gamma$	$='''h'''\gamma -''\gamma$	…	$^{(IV)}\delta$	$='''\gamma$
	${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$			${\text{etc.}}$

et,

$f$ se changera en

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$'f$

$\left.{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right\}$

par la substitution

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$'\alpha ,$

$'\beta ,$

$'\gamma ,$

$'\delta$

$''f$

$''\alpha ,$

$''\beta ,$

$''\gamma ,$

$''\delta$

$'''f$

$'''\alpha ,$

$'''\beta ,$

$'''\gamma ,$

$'''\delta$

etc.

etc.

et toutes ces transformations seront propres.

Si l’on fait $\alpha =1,$ $\beta =0,$ $\gamma =0,$ $\delta =1,$ ces nombres auront la même relation avec la forme $f$ que $\alpha ',$ $\beta ',$ $\gamma ',$ $\delta '$ avec la forme $f',$ $\alpha '',$ $\beta '',$ $\gamma '',$ $\delta ''$ avec la forme $f'',$ etc., $'\alpha ,$ $'\beta ,$ $'\gamma ,$ $'\delta$ avec $'f,$ etc. C’est-à-dire, que par la substitution $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta ,$ la forme $f$ se change en $f\,;$ mais alors les suites $\alpha ',$ $\alpha '',$ $\alpha ''',$ etc. $'\alpha ,$ $''\alpha ,$ $'''\alpha ,$ etc., par intercalation de $\alpha ,$ se joindront parfaitement, et n’en feront plus qu’une seule allant à l’infini dans les deux sens, et dont tous les termes suivent la même loi …$'''\alpha ,$ $''\alpha ,$ $'\alpha ,$ $\alpha ,$ $\alpha ',$ $\alpha '',$ $\alpha '''\dots$ La loi de cette suite est celle-ci :

$'''\alpha +'\alpha$	$=''h''\alpha$,	__	$''\alpha +\alpha$	$='h'\alpha$,	__	$'\alpha +\alpha '$	$=h\alpha$,
$\alpha +\alpha ''$	$=h'\alpha '$,	__	$\alpha '+\alpha ''$	$=h''\alpha ''$,	__	etc.

ou généralement, en regardant l’accent négatif écrit à droite comme l’accent positif écrit à gauche, $\alpha ^{(m-1)}+\alpha ^{(m+1)}=h^{(m)}\alpha ^{(m)}.$

De même la suite $''\beta$, $'\beta$, $\beta$, $\beta '$, $\beta ''$, etc, sera continue, et la loi de ses termes sera $\beta ^{(m-1)}+\beta ^{(m+1)}=h^{(m+1)}\beta ^{(m)}$ ; cette suite est la même que la précédente, en remplaçant $'\alpha$ par $\beta ''$, $\alpha$ par $'\beta$, $\alpha '$par $\beta$, etc.

La loi de la progression $''\gamma ,$ $'\gamma ,$ $\gamma ,$ $\gamma ',$ $\gamma '',$ etc. sera $\gamma ^{(m-1)}+\gamma ^{(m+1)}=h^{(m)}\gamma ^{(m)},$ et celle de la progression : $''\delta ,$ $'\delta ,$ $\delta ,$ $\delta ',$ $\delta '',$ etc. sera $\delta ^{(m-1)}+\delta ^{(m+1)}=h^{(m+1)}\delta ^{(m)},$ et en outre généralement $\delta ^{(m)}=\gamma ^{(m+1)}.$

Exemple. La forme $(3,8,-5)=f$ se changera ainsi