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ARITHMÉTIQUES.

en————

——————par la substitution,

$^{VII}f$			$=(-10,7,3)$	$......$	$-$	$805$,	—	$-$	$152$,	—	$+$	$143$,	—	$+$	$27$
$^{VI}f$			$=(3,8,-5)$	$......$	$-$	$152$,	—	$+$	$45$,	—	$+$	$27$,	—	$-$	$8$
$^{V}f$			$=(-5,7,6)$	$......$	$+$	$45$,	—	$+$	$17$,	—	$-$	$8$,	—	$-$	$3$
$^{IV}f$			$=(6,5,-9)$	$......$	$+$	$17$,	—	$-$	$11$,	—	$-$	$3$,	—	$+$	$2$
$'''f$			$=(-9,4,7)$	$......$	$-$	$11$,	—	$-$	$6$,	—	$+$	$2$,	—	$+$	$1$
$''f$			$=(7,3,-10)$	$......$	$-$	$6$,	—	$+$	$5$,	—	$+$	$1$,	—	$-$	$1$
$'f$			$=(-10,7,3)$	$......$	$+$	$5$,	—	$+$	$1$,	—	$-$	$1$,	—		$0$
$f$			$=(3,8,-5)$	$......$	$+$	$1$,	—		$0$,	—		$0$,	—	$+$	$1$
	$f'$		$=(-5,7,6)$	$......$		$0$,	—	$-$	$1$,	—	$+$	$1$,	—	$-$	$3$
	$f''$		$=(6,5,-9)$	$......$	$-$	$1$,	—	$-$	$2$,	—	$-$	$3$,	—	$-$	$7$
	$f'''$		$=(-9,4,7)$	$......$	$-$	$2$,	—	$+$	$3$,	—	$-$	$7$,	—	$+$	$10$
	$f^{IV}$		$=(7,3,-10)$	$......$	$+$	$3$,	—	$+$	$5$,	—	$+$	$10$,	—	$+$	$17$
	$f^{V}$		$=(-10,7,3)$	$......$	$+$	$5$,	—	$-$	$8$,	—	$+$	$17$,	—	$-$	$27$
	$f^{VI}$		$=(3,8,-5)$	$......$	$-$	$8$,	—	$-$	$45$,	—	$-$	$27$,	—	$-$	$152$
	$f^{VII}$		$=(-5,7,6)$	$......$	$-$	$45$,	—	$+$	$143$,	—	$-$	$152$,	—	$+$	$483$
					etc.

189. À l’égard des calculs précédens, nous ferons plusieurs remarques.

1^o . Tous les nombres $a,$ $a',$ $a'',$ etc. $'a,$ $''a,$ etc. auront le même signe, tous les nombres $b,$ $b',$ $b'',$ etc. $'b,$ $''b,$ etc. seront positifs, et les nombres …$''h,$ $'h,$ $h,$ $h',$ $h'',$ etc. seront alternatifs, c’est-à-dire, que si $a,$ $a',$ etc. sont tous positifs, $h^{m}$ ou $^{m}h$ sera positif quand $m$ est pair, et négatif quand $m$ est impair ; et le contraire aura lieu, si $a,$ $a',$ etc. sont tous négatifs.

2^o . Si $a$ est positif et partant $h'<0,$ $h''>0,$ etc., on aura $\alpha ''=-1,$ $<0\,;$ $\alpha '''=h''\alpha '',$ $<0$ et $>$ ou $=\alpha ''\,;$ $\alpha ^{IV}=h'''\alpha '''-\alpha '',$ $>0$ et $>\alpha ''',$ puisque $h'''\alpha '''>0$ et $\alpha ''<0\,;$ $\alpha ^{V}=h^{IV}\alpha ^{IV}-\alpha ''',$$>0$ et $>\alpha ^{IV},$ puisque $h^{IV}\alpha ^{IV}>0$ et $\alpha '''<0,$ etc. On conclut de là facilement que les termes de la suite $\alpha ,$ $\alpha ',$ $\alpha '',$ $\alpha ''',$ etc. vont toujours en augmentant, et qu’il y en a toujours deux positifs et deux négatifs alternativement, et de manière que $\alpha ^{m}$ a le signe $+,$ $+,$ $-,$ $-,$ suivant que $m\equiv 0,$ $1,$ $2,$ $3{\pmod {4}}\,;$ si $a$ est négatif, on trouvera par un raisonnement semblable que les termes vont en augmentant, et que le signe du terme $\alpha ^{m}$ est $+,$ $-,$ $-,$ $+,$ suivant que $m\equiv 0,$ $1,$ $2,$ $3{\pmod {4}}.$

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