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ARITHMÉTIQUES.

quantités sont de signes différens à $a'$ ou $a$, ${\frac {-{\sqrt {D}}+b}{a}}$ tombe entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$ ; mais alors les deux quantités ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ seront aussi de signes contraires à $a$, et ${\frac {a'}{-{\sqrt {D}}+b}}$ tombera entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$. Or comme on a $D-b^{2}=aa'$, il en résulte ${\frac {a'}{-{\sqrt {D}}+b}}={\frac {-{\sqrt {D}}-b}{a}}$, qui tombe parconséquent entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$. Ainsi la première partie du théorème est démontrée pour le second cas, en supposant que l’on n’ait ni $\alpha =0$, ni $\beta =0$. De la même manière, quand aucun des nombres $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ n’est $=0$, et que ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ sont de même signe que $a$ ou $a'$, ${\frac {{\sqrt {D}}-b}{a}}$ tombe entre ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$, et partant ${\frac {a}{{\sqrt {D}}-b}}$ entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$ ; d’ailleurs ${\frac {a}{{\sqrt {D}}-b}}={\frac {{\sqrt {D}}+b}{a'}}$, donc ${\frac {{\sqrt {D}}+b}{a'}}$ tombe entre ${\frac {\gamma }{\alpha }}$ et ${\frac {\delta }{\beta }}$, qui sont de même signe que $a'$. Ainsi la seconde partie du théorème est démontrée pour le premier cas, en supposant que l’on n’ait ni $\gamma =0$, ni $\delta =0$.

Il ne reste donc plus qu’à faire voir la vérité de la première partie pour le second cas, même en supposant $\alpha =0$ ou $\beta =0$, et celle de la seconde partie pour le premier cas, même en supposant $\gamma =0$ ou $\delta =0$ ; mais tous ces cas sont impossibles. Supposons en effet, pour la première partie du théorème, qu’on n’ait ni $\gamma =0$, ni $\delta =0$, que ${\frac {\alpha }{\gamma }}$ et ${\frac {\beta }{\delta }}$ soient tous deux de signe contraire à $a$, et qu’on ait en premier lieu $\alpha =0$. Alors l’équation $\alpha \delta -\gamma \beta =\pm 1$ donne $\beta =\pm 1$ et $\gamma =\pm 1$ ; donc l’équation (1) devient $A=-a'$ ; ainsi $A$ et $a'$ et partant $a$ et $A'$ sont de signes contraires, ce qui rend ${\sqrt {\left(D-{\frac {aA'}{\delta ^{2}}}\right)}}>{\sqrt {D}}>b$ ; donc dans l’équation (4), il faut nécessairement prendre le signe inférieur, car en prenant le signe supérieur, il s’ensuivrait que ${\frac {\beta }{\delta }}$ aurait le même signe que $a$, et l’on a alors ${\frac {\beta }{\delta }}>{\frac {-{\sqrt {D}}-b}{a}}>1$ (puisque, par la définition de la forme réduite, $a<{\sqrt {D}}+b)$. Or ${\frac {\beta }{\delta }}$ ne peut être plus grand que $1$, puisque $\beta =\pm 1$ et que $\delta$ n’est