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ARITHMÉTIQUES.

forme $(A,B,-A')$ est contiguë à la forme $(a,b,-a')$ par la dernière partie ; mais puisque $F$ est une forme réduite, elle sera nécessairement identique avec $f'$ (n^o 184, 6^o .). Donc $B=b'$, et partant l’équation (2) donne $b+b'=\pm a'q$ ; et comme d’ailleurs on a ${\frac {b+b'}{-a'}}=h'$, on en tire $q=\mp h'$ ; Il suit de là qu’on a $\mp k$, $\mp l$, $\mp p$, $\mp q=0$, $-1$, $+1$, $h'$, ou $=\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$, respectivement.

2^o . Si $l=0$, l’équation (4) donne $k=\pm 1$, $q=\pm 1$ ; l’équation (3) $a'=A'\ ;$ l’équation (2) $b\mp a'p=B$, ou $B\equiv b{\pmod {a'}}$ ; mais comme $f$ et $F$ sont des formes réduites, $B$ et $b$ tomberont entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a'$, suivant que $a'$ sera positif ou négatif (n^o 184, 5^o.) ; ainsi on aura nécessairement $B=b$ et $p=0$, donc les formes $f$ et $F$ sont identiques, et $\pm k$, $\pm l$, $\pm p$, $\pm q=1$, $0$, $0,$ $1=\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, respectivement.

3^o . Si $p=0$, l’équation (4) donne $k=\pm 1$, $q=\pm 1$ ; l’équation (1) $a=A\,;$ l’équation (2) $\pm al+b=B.$ Mais comme $B$ et $b$ tombent entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\mp a,$ on aura nécessairement $B=b,$ $l=0.$ Ainsi ce cas ne diffère pas du précédent.

4^o . Si $q=0$, l’équation (4) donne $l=\pm 1$, $p=\mp 1$ ; l’équation (3) $a=-A'$, et l’équation (2) $\pm al-b=B$, ou $B\equiv {-b}{\pmod {a}}$. Ainsi la forme $F$ est contiguë à la forme $f$ par la première partie, et partant elle sera identique avec la forme $'f$ : et comme on a ${\frac {b+b'}{a}}=h$ et $B='b$, on aura $l=h$. Il suit de là que $\pm k$, $\pm l$, $\pm p$, $\pm q=h$, $1$, $-1$, $0='\alpha$, $'\beta$, $'\gamma$, $'\delta$ respectivement.

Il reste donc le cas où aucun des nombres $k$, $l$, $p$, $q$ n’est $=0$. Or par le lemme du n^o 190, les quantités ${\frac {k}{p}}$, ${\frac {l}{q}}$, ${\frac {p}{k}}$, ${\frac {q}{l}}$ auront le même signe, et il en résulte deux cas : celui où leur signe est le même que celui de $a$ et $a'$ et celui où il est contraire.

II. Si ${\frac {k}{l}}$ et ${\frac {l}{q}}$ ont le même signe que $a$, la quantité ${\frac {{\sqrt {D}}-b}{a}}=L$ tombera entre ces fractions (n^o 191). Nous allons démontrer que ${\frac {k}{p}}$ est égal à quelqu’une des fractions ${\frac {\alpha ''}{\gamma ''}}$, ${\frac {\alpha '''}{\gamma '''}}$, ${\frac {\alpha ^{IV}}{\gamma ^{IV}}}$, etc., et ${\frac {l}{q}}$ à

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