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ARITHMÉTIQUES.

$\varphi ^{(m)},\ {\frac {k}{p}},\ \varphi ^{(m+2)},\dots \dots L\dots \dots \varphi ^{(m+1)}\dots \dots$(II)^[1],

alors ${\frac {l}{q}}$ sera nécessairement $=\varphi ^{(m+1)}$ ; car il doit être à droite de $L$, et s’il était aussi à droite de $\varphi ^{(m+1)}$, ${\frac {k}{p}}$ tomberait entre ${\frac {k}{p}}$ et ${\frac {l}{q}}$, et l'on aurait $\gamma ^{(m+1)}>p$ ; mais comme ${\frac {k}{p}}$ tomberait entre $\varphi ^{(m)}$ et $\varphi ^{(m+1)}$, il s’ensuivrait qu’on aurait en même temps $p>\gamma ^{(m+1)}$, ce qui implique contradiction. Si ${\frac {l}{q}}$ était à gauche de $\varphi ^{(m+1)}$, il tomberait entre $\varphi ^{(m)}$ et $\varphi ^{(m+1)}$, et alors on aurait $q>\gamma ^{(m+2)}$ ; mais comme $\varphi ^{(m+2)}$ tombe lui-même entre ${\frac {k}{p}}$ et ${\frac {l}{q}}$, on aurait en même temps $\gamma ^{(m+2)}>q$, ce qui implique contradiction. On aura donc ${\frac {l}{q}}=\varphi ^{(m+1)}={\frac {\alpha ^{(m+1)}}{\gamma ^{(m+1)}}}={\frac {\beta ^{(m)}}{\delta ^{(m)}}}.$

Puisque $kq-lp=1$, $l$ et $q$ seront premiers entre eux, et par la même raison $\beta ^{(m)}$ et $\delta ^{(m)}$ le sont aussi ; d’où l’on voit facilement que l’équation ${\frac {l}{q}}={\frac {\beta ^{(m)}}{\delta ^{(m)}}}$ ne peut avoir lieu à moins qu’on n’ait $l=\beta ^{(m)}$ et $q=\delta ^{(m)}$, ou $l=-\beta ^{(m)}$ et $-q=\delta ^{(m)}$. Or comme la forme $f$ se change par la transformation propre $q=\alpha ^{(m)}$, $q=\beta ^{(m)}$, $q=\gamma ^{(m)}$ $q=\delta ^{(m)}$, en la forme $q=f^{(m)}=(\pm a^{(m)},b^{(m)},\mp a^{(m+1)})$ on aura les équations

$a\alpha ^{(m)}\alpha ^{(m)}+2b\alpha ^{(m)}\gamma ^{(m)}$	$-a'\gamma ^{(m)}\gamma ^{(m)}$	$=$	$\pm$	$a^{(m)}$	…(5)
$a\alpha ^{(m)}\beta ^{(m)}+b(\alpha ^{(m)}\delta ^{(m)}+\beta ^{(m)}\gamma ^{(m)})$	$-a'\gamma ^{(m)}\delta ^{(m)}$	$=$	$\pm$	$b^{(m)}$	…(6)
$a\beta ^{(m)}\beta ^{(m)}+2b\beta ^{(m)}\delta ^{(m)}$	$-a'\delta ^{(m)}\delta ^{(m)}$	$=$	$\mp$	$a^{(m)}$	…(7)
$\alpha ^{(m)}\delta ^{(m)}-\beta ^{(m)}\gamma ^{(m)}$		$=$		$1$	…(8)

Mais en substituant $\beta ^{(m)}$ et $\delta ^{(m)}$ pour $l$ et $q$ dans l’équation (3), son premier membre devient égal à celui de l’équation (1) ; on a donc $\pm a^{(m+1)}=-A'$. Or^[2] en multipliant l’équation (2)

1. Peu importe que l’ordre de la suite (II) soit le même que celui de la suite (I), ou qu’il lui soit opposé, c’est-à-dire, que $\varphi ^{(m)}$ soit dans la première à gauche ou à droite.
2. Il me semble que le calcul serait plus simple de la manière suivante :

   En remplaçant dans l’équation (8), $\beta ^{(m)}$ et $\delta ^{(m)}$ par $\pm l$ et $\pm q$, elle devient