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RECHERCHES

par $\alpha ^{(m)}\delta ^{(m)}-\beta ^{(m)}\gamma ^{(m)}$ , et l’équation (6) par $kq-lp$ , et retranchant, on voit facilement par le développement qu’on a

$B-b^{(m)}=$		$(p\alpha ^{(m)}-k\gamma ^{(m)})\left(al\beta ^{(m)}+b(q\beta ^{(m)}+l\delta ^{(m)})-a'q\delta ^{(m)}\right)$
	$+$	$(l\delta ^{(m)}-q\beta ^{(m)})\left(ak\alpha ^{(m)}+b(p\alpha ^{(m)}+k\gamma ^{(m)})-a'p\gamma ^{(m)}\right)$	…(9),

ou comme $l=\pm \beta ^{(m)}$ et $q=\pm \delta ^{(m)}$ ,

	$B-b^{(m)}$	$=$	$\pm (p\alpha ^{(m)}-k\gamma ^{(m)})(al^{2}+2blq-a'q^{2})$
		$=$	$\pm (p\alpha ^{(m)}-k\gamma ^{(m)})A'$ ,
ou	$B$	$\equiv$	$b^{(m)}{\pmod {A'}}$ ;

mais $B$ et $b^{(m)}$ tombent entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\pm A'$ ; on aura donc nécessairement $B=b^{(m)}$ , partant $p\alpha ^{(m)}-k\gamma ^{(m)}=0$ , ou ${\frac {k}{p}}={\frac {\alpha ^{(m)}}{\gamma ^{(m)}}}=\varphi ^{(m)}$ .

Ainsi, de la supposition que ${\frac {k}{p}}$ n’est égal à aucune des quantités $\varphi ''$ , $\varphi '''$ , etc., on fait voir qu’il est égal à l’une d’elles. Si nous avions supposé d’abord ${\frac {k}{p}}=\varphi ^{(m)}$ , on aurait eu évidemment $k=\pm \alpha ^{(m)}$ , $p=\pm \gamma ^{(m)}$ ; dans les deux cas, la comparaison des équations (1) et (5) donne $A=\pm \alpha ^{(m)}$ , et de l’équation (9), $B-b^{(m)}=\pm (l\delta ^{(m)}-q\beta ^{(m)})$ , ou $B\equiv b^{(m)}{\pmod {A}}$ ; on conclut de là, comme plus haut, que $B=b^{(m)}$ , partant ${\frac {l}{q}}={\frac {\beta ^{(m)}}{\delta ^{(m)}}}$ , et comme $l$ et $q$ , $\beta ^{(m)}$ et $\delta ^{(m)}$ sont premiers entre eux, $l=\pm \beta ^{(m)}$ , $q=\delta ^{(m)}$ . L’équation (7) donne alors, en la comparant à l’équation (3), $-A'=\mp a^{(m+1)}$ , ainsi les formes $F$ et $f^{(m)}$ sont identiques. À l’aide de l’équation $kq-lp=\alpha ^{(m)}\delta ^{(m)}-\beta ^{(m)}\gamma ^{(m)}$ , on prouve sans difficulté que si l’on prend $k$ et $p$ avec le signe $+$ ou avec le signe $-$ , il faut prendre $l$ et $q$ de même.

$l\alpha ^{(m)}-q\gamma ^{(m)}=1$ ; si l’on en retranche l’équation (4), on a

l(\alpha ^{(m)}\mp k)-q(\gamma ^{(m)}\mp p)=0

, d’où

{\frac {\alpha ^{(m)}\mp k}{\gamma ^{(m)}\mp p}}={\frac {l}{q}}\ ;

et comme $l$ et $q$ sont premiers entre eux, on a généralement $\alpha ^{(m)}\mp k=rl$ , $\gamma ^{(m)}\mp p=rq$ , ou $\alpha ^{(m)}=\pm k+rl$ , $\gamma ^{(m)}=\pm p+rq$ .