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RECHERCHES
par , et l’équation (6) par , et retranchant, on voit facilement par le développement qu’on a
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…(9),
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ou comme et ,
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, |
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ou |
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;
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mais et tombent entre et ; on aura donc
nécessairement , partant , ou .
Ainsi, de la supposition que n’est égal à aucune des quantités , , etc., on fait voir qu’il est égal à l’une d’elles. Si
nous avions supposé d’abord , on aurait eu évidemment
, ; dans les deux cas, la comparaison des
équations (1) et (5) donne , et de l’équation (9),
, ou ; on conclut de
là, comme plus haut, que , partant , et comme
et , et sont premiers entre eux, , .
L’équation (7) donne alors, en la comparant à l’équation (3),
, ainsi les formes et sont identiques.
À l’aide de l’équation , on prouve
sans difficulté que si l’on prend et avec le signe ou avec
le signe , il faut prendre et de même.
; si l’on en retranche l’équation (4), on a
, d’où
et comme et sont premiers entre eux, on a généralement ,
, ou , .
Substituant dans l’équation (6) les valeurs de , , , , il vient
.
Or on démontre que ; donc , et et
De même, pour le paragraphe suivant. (Note du Traducteur).