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ARITHMÉTIQUES.

III. Si le signe des quantités ${\frac {k}{p}}$, etc. est opposé à celui de $a$, la démonstration est tellement semblable à la précédente, qu’il suffit d’ajouter seulement les points principaux.

${\frac {-{\sqrt {D}}+b}{a'}}$ tombera entre ${\frac {p}{k}}$ et ${\frac {q}{l}}$ ; ${\frac {q}{l}}$ sera égal à une des fractions ${\frac {'\delta }{'\beta }}$, ${\frac {''\delta }{''\beta }}$, ${\frac {'''\delta }{'''\beta }}$, etc., et en supposant donc ${\frac {q}{l}}={\frac {^{(n)}\gamma }{^{(n)}\alpha }}$, on aura ${\frac {p}{k}}={\frac {^{(m)}\gamma }{^{(m)}\alpha }}$. La première de ces deux assertions se prouve comme il suit : si ${\frac {q}{l}}$ n’est pas égal à une de ces fractions, elle devra tomber entre deux ${\frac {^{(m)}\delta }{^{(m)}\beta }}$ et ${\frac {^{(m+1)}\delta }{^{(m+1)}\beta }}$. Or on démontre, comme plus haut, qu’alors ${\frac {p}{k}}$ sera nécessairement $={\frac {^{(m+1)}\delta }{^{(m+1)}\beta }}={\frac {^{(m)}\gamma }{^{(m)}\alpha }}$, et partant $p=\pm ^{(m)}\gamma$ et $k=\pm ^{(m)}\alpha$. Mais $f$, par la substitution propre $^{(m)}\alpha$, $^{(m)}\beta$, $^{(m)}\gamma$, $^{(m)}\delta$, se change en $^{(m)}f=(\pm ^{(m)}a,^{(m)}b,\pm ^{(m)}a)$, d’où naissent trois équations qui, jointes à l’équation $^{(m)}\alpha ^{(m)}\delta -^{(m)}\beta ^{(m)}\gamma =1$, et aux équations (1), (2), (3) et (4), prouvent d’abord que le terme $A$ de la forme $F$ est égal au premier terme de la forme $^{(m)}f$, ensuite que le terme moyen de la première est congru à celui de la seconde, suivant le module $A$, et que comme les deux formes sont réduites, chacun d’eux tombe entre ${\sqrt {D}}$ et ${\sqrt {D}}\pm A$, ces deux termes moyens sont égaux ; et de là on conclut que ${\frac {q}{l}}={\frac {^{(m)}\delta }{^{(m)}\beta }}$. Ainsi la vérité de cette première assertion est dérivée de la supposition même qu’elle fut fausse.

Or en supposant ${\frac {q}{l}}={\frac {^{(m)}\delta }{^{(m)}\beta }}$ on démontre absolument de la même manière et par les mêmes équations, que ${\frac {p}{k}}={\frac {^{(m)}\gamma }{^{(m)}\alpha }}$, et au moyen de l’équation $kq-lp=^{(m)}\alpha ^{(m)}\delta -^{(m)}\beta ^{(m)}\gamma$, on prouve que si l’on prend pour $q$ et $l$, $^{(m)}\delta$ et $^{(m)}\beta$ avec le signe $+$ ou le signe $-$, il faudra pour $p$ et $k$ prendre $^{(m)}\gamma$ et $^{(m)}\alpha$ avec le même signe, et partant que les formes $F$ et $^{(m)}f$ sont identiques.

194. Comme les formes que nous avons appelées associées (n^o 187, 6^o .), sont toujours improprement équivalentes (n^o 159, à la fin), il est clair que si les formes réduites $F$ et $f$ sont improprement équivalentes, et que la forme $G$ soit associée à $F,$