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ARITHMÉTIQUES.

viseur des nombres $M$ , $2N$ , $P$ , pour lesquels on a $N^{2}-MP=D$ , on prouvera, comme ci-dessus, que ${\frac {2n}{g}}$ est un nombre entier. Or supposons que ce quotient soit impair, le quarré ${\frac {4n^{2}}{g^{2}}}$ sera $\equiv 1{\pmod {4}}$ , et partant ${\frac {4n^{2}D'}{g^{2}}}\equiv D'\equiv 2$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$ . Mais ${\frac {4n^{2}D'}{g^{2}}}={\frac {4D}{g^{2}}}={\frac {4N^{2}}{g^{2}}}-{\frac {4MP}{g^{2}}}\equiv {\frac {4N^{2}}{g^{2}}}{\pmod {4}}$ ; ainsi ${\frac {4N^{2}}{g^{2}}}$ serait $\equiv 2$ ou $\equiv 3{\pmod {4}}$ , ce qui est absurde, puisqu’un quarré doit être congru à zéro ou à l’unité, suivant le module $4$ . Donc ${\frac {2n}{g}}$ étant pair, ${\frac {n}{g}}$ sera entier et $n$ divisible par $g$ .

Ainsi il est clair que $1$ est toujours valeur de $m$ , c’est-à-dire que l’équation $t^{2}-Du^{2}=1$ est toujours résoluble par ce qui précède, pour toute valeur de $D$ positive et non quarrée. Le nombre $2$ ne sera valeur de $m$ que dans le cas où $D$ sera de la forme $4k$ ou de la forme $4k+1$ .

II. Si $m$ est plus grand que $2$ , mais qu’il soit un nombre convenable, la solution de l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$ pourra être ramenée à celle d’une équation semblable où $m=1$ ou $2$ . En effet posons, comme plus haut, $D=n^{2}D'$ , si $m$ divise $n$ , $m^{2}$ divisera $D$ . Alors si l’on suppose que pour l’équation $p^{2}-{\frac {D}{m^{2}}}q^{2}=1$ , les plus petites valeurs de $p$ et $q$ soient $p=P$ , $q=Q$ les plus petites valeurs de $t$ , $u$ , dans l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$ seront $t=mP$ , $u=Q$ . Mais si $m$ ne divise pas $n$ , il divisera au moins $2n$ ; alors il sera pair, et partant ${\frac {4D}{m^{2}}}$ sera un nombre entier, et si les plus petites valeurs de $p$ et $q$ dans l’équation $p^{2}-{\frac {4D}{m^{2}}}=4$ sont $p=P$ , $u=Q$ , les plus petites valeurs de $t$ , $u$ , dans l’équation $t^{2}-Du^{2}=m^{2}$ , seront $t={\frac {m}{2}}P$ , $u=Q$ .

Au reste, dans les deux cas, on peut déduire, non-seulement les plus petites valeurs de $t$ , $u$ , de la connaissance des plus petites valeurs de $p$ , $q$ , mais toutes les valeurs des premières de toutes les valeurs des secondes.

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