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ARITHMÉTIQUES.

aura $g^{2}h^{2}={\frac {b^{2}}{m^{2}}}$ ou $gh=\pm {\frac {b}{m}}$. D’où il suit qu’on a

$ax^{2}+2bxy+cy^{2}=m(gx\pm hy)^{2}.$

Soient proposées maintenant deux formes $f$ et $F$ de déterminant $=0$, et $f=m(gx+hy)^{2}$, $F=M(GX+HY)^{2}$, dans lesquelles $g$ est premier avec $h$, et $G$ avec $H$. Je dis que si $f$ renferme $F$, on aura $m=M$, ou que du moins $m$ divisera $M$, et donnera pour quotient un quarré, et réciproquement. En effet, si $f$ se change en $F$ par la substitution $x=\alpha +\beta Y$, $y=\gamma X+\delta Y$, on aura

${\frac {M}{m}}(GX+HY)^{2}=\{(\alpha g+\gamma h)X+(\beta g+\delta h)Y\}^{2},$

d’où il suit évidemment que ${\frac {M}{m}}$ est un quarré ; faisons ${\frac {M}{m}}=e^{2}$, on aura

$e(GX+HY)=\pm \{(\alpha g+\gamma h)X+(\beta g+\delta h)Y\}$

et partant, $eG=\pm (\alpha g+\gamma h)$, $eH=\pm (\beta g+\delta h)$ ; comme $G$, $H$ sont premiers entre eux, on peut déterminer deux nombres $G'$, $H'$, tels qu’on ait $G.G'+H.H'=1$ ; et partant, $\pm e=G'(\alpha g+\gamma h)+H'(\beta g+\delta h)$, ou égal à un entier. Réciproquement, si l’on suppose que ${\frac {M}{m}}$ soit un quarré entier $=e^{2}$, la forme $f$ renfermera la forme $F$, c’est-à-dire qu’on pourra toujours déterminer des valeurs entières de manière à satisfaire aux équations

$\alpha g+\gamma h=\pm eG,\quad \beta g+\delta h=\pm eH,$

car ces équations sont toujours résolubles en nombres entiers. Il suffit, comme on sait, de résoudre l’équation $g'g+h'h=1$, et on aura

$\alpha =\pm$	$eGg'+hz$,——	$\gamma =eGh'-gz$,
$\beta =$	$eHg'+hz'$,	$\delta =eHh'-gz'$,

en donnant à $z$, $z'$ des valeurs entières quelconques.

Il est clair en même temps que ces formules donnent toutes les transformations de $f$ en $F$, pourvu qu’on attribue à $z$ et $z'$ toutes les valeurs entières.

II. Supposons maintenant que tout restant le même d’ailleurs, la forme $f=ax^{2}+2bxy+cy^{2}$ n’ait pas $0$ pour déterminant. Je dis que, 1^o. si $f$ renferme $F$, le nombre $M$ pourra se représenter