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ARITHMÉTIQUES.

III. Il ne reste plus qu’à faire voir comment on peut trouver toutes les représentations d’un nombre donné par une forme donnée dont le déterminant $=0$ . Soit cette forme $m(gx+hy)^{2}$ , il suit de là que ce nombre doit être divisible par $M$ , et que le quotient doit être un quarré. Ainsi, en représentant ce nombre par $me^{2}$ , on aura à trouver les valeurs de $x$ , $y$ pour qu’on ait $(gx+hy)^{2}=e^{2}$ , ou ce qui revient au même, $gx+hy=\pm e$ . Or cette équation est toujours résoluble en nombres entiers, puisque $g$ et $h$ sont premiers entre eux. On déterminera $g'$ et $h'$ de manière qu’on ait $gg'+hh'=1$ , et l’on aura $x=\pm g'e+hz$ , $y=\pm h'e-gz$ , où $z$ est un nombre entier quelconque.

Comme application des recherches précédentes, nous ajouterons le problème suivant.

216. Problème. Trouver toutes les solutions en nombres entiers, de l’équation générale du second degré à deux inconnues,

ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0

,^[1]

équations

$a\alpha ^{2}+2b\alpha \gamma +c\gamma ^{2}$	$=MG^{2}$ ,
$a\alpha \beta +b(\alpha \delta +\beta \gamma )+c\gamma \delta$	$=MGH$ ,
$a\beta ^{2}+2b\beta \delta +c\delta ^{2}$	$=MH^{2}$ ;

on aura encore $\alpha \delta -\beta \gamma =0$ , ou ${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\gamma }{\delta }}$ .

Si de la première, multipliée par $\delta$ , on retranche la seconde, multipliée par $\gamma$ , on en déduit sur-le-champ $G\delta -H\gamma =0,$ ou ${\frac {\gamma }{\delta }}={\frac {G}{H}},$ et puisqu’on a ${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\gamma }{\delta }},$ ${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {G}{H}}\,;$ $G$ et $H$ sont premiers entre eux, donc $\gamma$ et $\alpha$ sont divisibles par $G,$ et $\delta$ et $\beta$ par $H\,;$ desorte que l’on aura $\alpha =\xi G,$ $\beta =\xi H,$ $\gamma =\nu G,$ $\delta =\nu H,$ $\xi$ et $\nu$ étant des indéterminées. Or ces valeurs, substituées dans les trois équations, réduisent chacune d’elles à

a\xi ^{2}+2b\xi \nu +c\nu ^{2}=M.

Donc nous prouvons à-la-fois, 1^o . que $M$ doit être représentable par la forme $(a,b,c)\ ;$ 2^o . que s’il est représentable, la transformation de $f$ en $F$ est possible ; 3^o . qu’elle se fait par la substitution $\xi G,$ $\xi H$ , $\nu G,$ $\nu H,$ et en même temps qu’on obtiendra ainsi toutes les transformations. (Note du traducteur).

↑ Si l’on proposait une équation dans laquelle le 2^e , le 4^e et le 5^e coefficiens ne fussent pas pairs, cette équation, multipliée par $2$ , prendrait la forme que nous lui supposons.

[1] Si l’on proposait une équation dans laquelle le 2^e , le 4^e et le 5^e coefficiens ne fussent pas pairs, cette équation, multipliée par $2$ , prendrait la forme que nous lui supposons.

[1]