Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/265

243

ARITHMÉTIQUES.

II. On a parconséquent $c^{\lambda }=\alpha a^{\lambda }b^{\mu }+\beta b^{\lambda }$, $c^{\mu }=\alpha a^{\mu }b^{\mu }+\beta b^{\mu }$, et partant

	$c^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }c^{\mu }$	$=\alpha (a^{\lambda }b^{\mu }-a^{\mu }b^{\lambda })$	de même…………
de même……………	$a^{\lambda }c^{\mu }-c^{\lambda }a^{\mu }$	$=\beta (a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })$
	$d^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }d^{\mu }$	$=\gamma (a^{\lambda }b^{\mu }-a^{\mu }b^{\lambda })$
	$a^{\lambda }d^{\mu }-d^{\lambda }a^{\mu }$	$=\delta (a^{\lambda }b^{\mu }-a^{\mu }b^{\lambda })$,

d’où l’on tirera plus facilement les valeurs de $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, pourvu qu’on prenne $\lambda$ et $\mu$ de manière que $a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu }$ ne soit pas $=0$, ce qui est possible, puisque toutes les quantités de cette forme sont supposées ne pas avoir de diviseur commun, et que parconséquent elles ne peuvent pas être toutes $=0$. On tire aisément de ces équations

$(\alpha \delta -\beta \gamma )(a^{\lambda }b^{\mu }-a^{\mu }b^{\lambda })^{2}$	$=(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })(c^{\lambda }d^{\mu }-d^{\lambda }c^{\mu })$
	$=k(a^{\lambda }b^{\mu }-b^{\lambda }a^{\mu })^{2}$

d’où nécessairement $\alpha \delta -\beta \gamma =k$.

235. Si la forme $AX^{2}+2BXY+CY^{2}=F$ se change en le produit des deux formes $ax^{2}+2bxy+cy^{2}=f$, $a'x'^{2}+2b'x'y'+c'y'^{2}=f'$ par la substitution

$X$	$=pxx'+p'xy'+p''x'y+p'''yy'$,
$Y$	$=qxx'+q'xy'+q''x'y+q'''yy'$,

(ce que nous exprimerons d’une manière abrégée en disant : Si $F$ se change en $ff'$ par la substitution $p$, $p'$, $p''$, $p'''$ ; $q$, $q'$, $q''$, $q'''$) la forme $F$ sera dite transformable en $ff'$, et si de plus cette transformation est telle que les six nombres

$pq'-p'q,\quad$	$\quad pq''-p''q,\quad$	$\quad pq'''-p'''q,$
$p'q''-p''q',\quad$	$\quad p'q'''-p'''q',\quad$	$\quad p''q'''-p'''q'',$

n’aient pas de diviseur commun, la forme $F$ sera dite composée des formes $f$, $f'$.

Nous commencerons par l’hypothèse la plus générale, celle où la forme $F$ se changerait en $ff'$ par la substitution $p$, $p'$, $p''$, $p'''$ ; $q$, $q'$, $q''$, $q'''$, et nous développerons les conséquences qui en résultent.

Cette condition est exprimée par les neuf équations suivantes :

2