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ARITHMÉTIQUES.

les premiers termes sont tous des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers. Cette résolution est souvent commode pour composer plusieurs formes en une.

Soient, par exemple, à composer les trois formes $(3,1,134),$ $(10,3,41),$ $(15,2,27)\,;$ on décomposera la seconde en les deux $(2,1,201),$ $(5,-2,81)\,;$ la troisième en $(3,-1,134),$ $(5,2,81)\,;$ et il est clair que la forme composée des cinq formes $(3,1,134),$ $(2,1,201),$ $(5,-2,81),$ $(3,-1,134),$ $(5,2,81),$ en quelque ordre que ce soit, sera composée des trois formes données. Mais la composition de la première et de la quatrième donne (1^o.) la forme principale ; la composition de la première et de la cinquième la donne aussi ; donc (2^o.) la forme composée définitive est $(2,1,201).$

5^o. Il nous semble qu’attendu l’utilité que présente ce procédé, il n’est pas inutile de lui donner ici plus de développement. L’observation précédente prouve que pour composer tant de formes proprement primitives qu’on voudra, on peut réduire la difficulté à n’avoir à composer que des formes dont les premiers termes soient des puissances de nombres premiers. Il convient de considérer surtout le cas où l’on doit composer deux formes proprement primitives $(a,b,c)$, $(a',b',c')$, dans lesquelles $a$ et $a'$ sont des puissances d’un même nombre premier. Soit donc $a=h{\alpha }$, $a'=h{\alpha '}$, $h$ étant un nombre premier, et soit $\alpha >\alpha '$, $h{\alpha '}$ sera le plus grand diviseur commun des nombres $a$, $a'$, et s’il divise $b+b'$, on rentrera dans le cas considéré au commencement de ce numéro, et $(A,B,C)$ sera composée des formes proposées, pourvu que l’on prenne $A=h^{\alpha -\alpha '}$, $B\equiv b{\pmod {h}}^{\alpha -\alpha '}$, et $\equiv b'{\pmod {1}}$, condition qui peut évidemment s’omettre ; enfin $C={\frac {B^{2}-D}{A}}$. Mais si $h{\alpha '}$ ne divise pas $b+b'$, le plus grand diviseur commun des trois nombres $a$, $a'$, $b+b'$ divisera $h{\alpha '}$ et sera une puissance de $h<h{\alpha '}$ ; supposons-le $=h^{\lambda }$, il faudra déterminer les nombres $\pi$, $\pi '$, $\pi ''$ de manière qu’on ait

$\pi 'h^{\alpha }+\pi ''h^{\alpha '}+\pi '''(b+b')=h^{\lambda },$

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