Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/288

Cette page a été validée par deux contributeurs.

266

RECHERCHES

$\pi$ étant pris à volonté ; et la forme $(A,B,C)$ sera composée des formes données, si l’on prend

A=h^{\alpha +\alpha '-2\lambda },\quad B=b+h^{\alpha -\lambda }\{\pi h^{\alpha '}-\pi '(b-b')-\pi ''c\},\quad C={\frac {B^{2}-D}{A}}.

Mais on voit facilement que dans ce cas $\pi '$ peut être pris aussi à volonté ; donc en faisant $\pi =\pi '=0$ , on a $B=b-\pi '''ch^{\alpha -\lambda }$ , ou plus généralement $B=kA+b-\pi '''ch^{\alpha -\lambda }$ (n^o précédent). Cette formule très-simple ne renferme que $\pi '''$ , qui est la valeur de l’expression ${\frac {h^{\lambda }}{b+b'}}{\pmod {h^{\alpha '}}}$ .

Soit, par exemple, à trouver une forme composée des deux formes $(16,3,19)$ et $(8,1,37)$ , on a $h=2$ , $\alpha =4$ , $\alpha '=3$ , $\lambda =2$ . Donc $A=8$ , $\pi '''$ est la valeur de l’expression ${\frac {4}{4}}{\pmod {8}}$ , qui est $r$ , d’où $B=8k-37$ , ou en faisant $k=9$ , $B=-1$ et $C=37$ ; donc $(8,-1,37)$ est la forme cherchée.

Étant donc proposées tant de formes qu’on voudra, dont les premiers termes sont des puissances de nombres premiers, il faut examiner si quelques-uns d’entre eux sont des puissances de mêmes nombres premiers, et comparer entre elles, par la règle que nous venons de donner, les formes auxquelles ils appartiennent. De cette manière on obtiendra des formes dont les premiers termes seront encore des puissances de nombres premiers, mais de nombres premiers differens ; ainsi par l’observation (3) on pourra trouver une forme composée de ces dernières.

Par exemple, étant proposées les formes $(3,1,47)$ , $(4,0,35)$ , $(5,0,28)$ , $(16,2,9)$ , $(9,7,21)$ , $(16,6,11)$ ; de la première et de la cinquième on tire la forme $(27,7,7)$ ; de la seconde et de la quatrième, la forme $(16,-6,11)$ ; de cette dernière et de la sixième, la forme $(1,0,140)$ , qui peut être négligée. Il reste les deux formes $(5,0,28)$ et $(27,7,7)$ , qui produisent la forme $(135,-20,4)$ , pour laquelle on peut prendre $(4,0,35)$ , qui lui est proprement équivalente. Ainsi $(4,0,35)$ est la résultante de la composition des six formes proposées.