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RECHERCHES

$p''$ sont entiers. Mais si $B={\frac {1}{2}}A$, on a $p^{2}+pq=a-{\frac {q^{2}C}{A}}$, $p''^{2}+p''q''=c-{\frac {q''^{2}C}{A}}$, d’où déduit aussi facilement que $p$ et $p''$ sont entiers. Donc $F$ est composée de $f$ et $F$.

255. Ainsi le problème est réduit à assigner toutes les classes proprement primitives de déterminant $D$, par les formes desquelles le nombre $A^{2}$ peut être représenté. Or $A^{2}$ peut évidemment être représenté par toute forme dont le premier terme est $A^{2}$ lui-même, ou le quarré d’une partie aliquote de $A$ ; mais réciproquement si $A^{2}$ peut être représenté par une forme $f$, en donnant aux indéterminées de cette forme les valeurs $\alpha e$, $\gamma e$, dont le plus grand diviseur commun est $e$, la forme $f$ se changera, par la substitution $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, en une forme dont le premier terme sera ${\frac {A}{e^{2}}}$. et cette forme sera proprement équivalente à $f$, si $\beta$, $\delta$ sont tels qu’on ait $\alpha \delta -\beta \gamma =1$ ; donc toute classe par les formes de laquelle $A^{2}$ pourra être représenté, renfermera des formes dont le premier terme sera $A^{2}$ ou le quarré d’une partie aliquote de $A$. Tout consiste donc à trouver toutes les classes proprement primitives qui renferment des formes de cette espèce ; ce qui se fait de la manière suivante : Soient $a$, $a'$, $a''$, etc. tous les diviseurs positifs de on cherchera toutes les valeurs de l’expression ${\sqrt {D}}{\pmod {a^{2}}}$ comprises entre $0$ et $a^{2}-1$ inclusivement, et les représentant par $b$, $b'$, $b''$, etc., on fera $b^{2}-D=a^{2}c$, $b'^{2}-D=a^{2}c'$, $b''^{2}-D=a^{2}c''$, etc. ; désignons par $V$ l’ensemble des formes $(a^{2},b,c)$, $(a^{2},b',c')$, etc. On voit facilement que toute classe de déterminant $D$ qui renfermera une forme dont le premier terme soit $a'^{2}$ devra contenir une forme de $V$, on déterminera de la même manière toutes les formes de déterminant $D$, dont le premier terme est $a'^{2}$ et le second compris entre $1$ et $a'^{2}-1$, nous désignerons par $V'$ l’ensemble de ces formes. On aura de même l’ensemble $V''$ de formes qui commencent par $a''^{2}$, etc. On rejettera de $V$, $V'$, $V''$, etc. toutes les formes qui ne sont pas proprement primitives, on réduira les autres en classes, et s’il y en a plusieurs qui appartiennent à la même classe, on n’en retiendra qu’une par classe. On aura de cette manière toutes les classes cherchées, et leur nombre sera à l’unité comme le nombre total des

classes