; donc sera un entier qui ne peut être que , puisqu’en le multipliant par le quarré entier , on a . Donc ou , seconde exception. Donc dans tous les autres cas, les différentes formes proprement primitives de , , etc. appartiendront à des classes différentes. Quant aux cas exceptés, il suffira, pour abréger, de mettre ici le résultat, qu’on trouve sans peine, mais dont la recherche prolongerait trop cette analyse. Dans le premier cas, les formes appartiendront deux à deux à la même classe, dans le second trois à trois ; donc le nombre des formes est dans celui-là double du nombre des classes, et triple dans celui-ci.
2o Quand est un nombre quarré positif, les différentes formes proprement primitives} de , , , etc. appartiennent sans exception à des classes différentes. Supposons en effet que et soient deux formes de cette espèce, et qu’elles soient équivalentes ; soit , , , la substitution propre qui change la première en la seconde. Il est clair que tous les raisonnemens de l’observation précédente, où l’on ne suppose pas négatif, ont également lieu ici ; on aura encore entier, mais positif et quarré ; faisons-le ; il en résulte , ce qui est absurde ; car la différence de deux quarrés ne peut être , à moins que le plus petit ne soit ; or cette supposition est inadmissible, puisque ne peut être nul, et que partant ne peut pas l’être non plus.
3o. Quand est positif non quarré, nous ne pouvons donner de règle générale pour comparer le nombre des classes avec celui des formes. Nous pouvons seulement affirmer que le premier sera égal au second ou une partie aliquote du second. Nous avons même découvert une certaine liaison entre le quotient de ces nombres et les plus petites valeurs qui satisfont à l’équation ; mais il serait trop long de l’expliquer ici. Mais nous ne pouvons pas décider s’il est possible dans tous les cas de connaître ce quotient à la seule inspection des nombres , . Nous joignons quelques exemples qu’il sera facile de multiplier à volonté.
