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RECHERCHES

prement primitives, ambiguës, de déterminant $D$ et non identiques ; elles seront d’ailleurs réduites : en effet, si $A<{\sqrt {D}}$, $B'$ sera évidemment $<{\sqrt {D}}$ et positif ; en outre, $B'>{\sqrt {D}}\mp A$, et parconséquent $A>{\sqrt {D}}-B'$ ; donc $A$ pris positivement est compris entre ${\sqrt {D}}+B'$ et ${\sqrt {D}}-B'$. Si $A>{\sqrt {D}}$, $B$ n’est pas $=0$, puisque nous avons rejeté les formes dans lesquelles ces deux circonstances étaient réunies, mais il est $={\frac {1}{2}}A$ ; donc $B'$ est, en grandeur, $={\frac {1}{2}}A$, et il sera positif, car on a $A<2{\sqrt {D}}$, partant $\pm {\frac {1}{2}}A$ tombera entre les limites assignées à $B'$ et sera congru à $B$, suivant le module $A$ ; donc $B'=\pm {\frac {1}{2}}A$, donc $B'<{\sqrt {D}}$ ou $2B'<{\sqrt {D}}+B'$, et parconséquent $A<{\sqrt {D}}+B'$ : donc enfin $\pm A$ tombera nécessairement entre les limites ${\sqrt {D}}+B'$ et ${\sqrt {D}}-B'$. En outre, $W'$ contiendra toutes les formes réduites proprement primitives et ambiguës ; en effet, si $(a,b,c)$ est une forme de cette espèce, on aura $b\equiv 0$ ou $\equiv {{\frac {1}{2}}a}{\pmod {a}}$ ; dans le premier cas, on ne pourra pas avoir $b<a$, ni partant $a>{\sqrt {D}}$ ; donc la forme $\left(a,c,-{\frac {D}{a}}\right)$ sera certainement contenue dans $W$, et partant $(a,b,c)$, qui lui correspond, le sera dans $W'$ ; dans le second on a nécessairement $a<2{\sqrt {D}}$, et partant la forme $\left(a,{\frac {1}{2}}a,{\frac {1}{4}}a-{\frac {D}{a}}\right)$ sera contenue dans $W$, et la forme $(a,b,c)$, qui lui correspond, le sera dans $W'$. Il suit de là que le nombre des formes de $W$ est égal au nombre de formes réduites, ambiguës et proprement primitives de déterminant $D$. Mais comme dans toute classe ambiguë il y a deux formes réduites ambiguës (n^os 187, 194), le nombre des classes ambiguës proprement primitives de déterminant $D$ sera la moitié du nombre des formes de $W$, ou la moitié du nombre de tous les caractères assignables.

259. Le nombre des classes ambiguës improprement primitives de déterminant $D$, est toujours égal au nombre de celles qui sont proprement primitives. Soit $K$ la classe principale, et $K$, $K'$, etc. les autres classes ambiguës proprement primitives de même déterminant, $L$ une classe ambiguë improprement primitive, celle, par exemple, qui contient la forme $\left(2,1,{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}D\right)$ ; la classe $L$ résultera de la composition de $K$ avec $L$ elle-même, et si nous nommons $L'$, $L''$, etc. les classes qui proviennent de la composi-